Reihenkonvergenz

Aufrufe: 481     Aktiv: 14.01.2021 um 11:50
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Zu beweisen ist die Konvergenz der Reihe:

Summe 2 bis inf ( (-1)^n * 1/(n*ln(n)^2))

Mir ist generell nicht klar wie ich beweise kann das 

Summe (1/( x* ln(x)^a)) für a > 1 konvergiert

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Student, Punkte: 39

 
Zu der Reihe 1) war eine Idee war mithilfe des Leibnitzkriterium, jedoch muss ich Beweisen dass n/(n*ln(n)^2) mon fallend ist und ich mir nicht ganz sicher bin ob ich da den besten weg hab.
Hätte es mit voll. Induktion und dem Wissen das ln(x) für x>1 pos ist und ln(x)>1 für x>e. Da die Summe bei 2 beginnt und der nächste "Step" n = 3 ist bin ich über diese "Schwelle"(2= 1 ist anschließend mon wachsend ist.   ─   anonym2ea41 13.01.2021 um 23:10
Mit dem Leibnitz bin ich voll bei dir, warum ist es aber nur für lim(x)^a, a>1 konvergent?

Ergänzung: Hab soeben durch Integrieren der Funktion erkannt, dass es nur für a > 1 eine Nullfolge rauskommt, aber wie drück ich das mathematisch am besten aus?   ─   anonym2ea41 13.01.2021 um 23:11
Besteht die Möglichkeit wie bei der Summe ohne alternierendem Teil das ganze nach Cauchy zu einem Integral zu schreiben? Eigentlich sind ja die Kriterien mit mon fallend, lim = 0 nicht gegeben.   ─   anonym2ea41 13.01.2021 um 23:15
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1 Antwort
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Ich nehme an, Du meinst die Reihe \[\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n(\log n)^2}\] (mit \(\log\) bezeichne ich den natürlichen Logarithmus). Da greift das Leibniz-Kriterium. Das gilt sogar für \[\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n(\log n)^a}\] mit \(a>0\). Andererseits kann man mit dem Integralkriterium zeigen, dass  \[\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\log n)^a}\] genau dann konvergiert, wenn \(a>1\) ist. Beantwortet das Deine Fragen?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Das bedeutet: für die altarnierende Reihe reicht das Leibnitzkriterium mit dem Beweis das 1/(log n)^(a) a>0 monoton fallend ist und immer > 0

Und für die "normale" Reihe kann ich es nur über das Cauchysche Integralkriterium für unendliche Reihen indem ich es als Integral 1/(....) von 2 bis unendlich schreibe, anschließend Integriere und ausrechne (Weil ein fixer Wert aus R rauskommt ist es konvergent)?   ─   anonym2ea41 14.01.2021 um 11:38
Genau.   ─   slanack 14.01.2021 um 11:43
Sehr gut danke :)   ─   anonym2ea41 14.01.2021 um 11:50

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