Erstmal danke für deine Antwort!

Lösung laut Buch 703 m

Die Strecke AB ist 3,4 km wenn ich das aus der Angabe richtig entnommen habe

Hallo nochmal,

ich habe nun Zeit gefunden und mich mal der Aufgabe gewidmet... Ganz schön tricky. Meine erste Antwort habe ich entfernt, weil sie falsch war. Nun jedoch die richtige Lösung.

Zunächst wieder eine Skizze, wobei S die Spitze des Berges bezeichnet und A sowie B die Kirchturmspitzen. Dargestellt ist der Sachverhalt quasi aufgeklappt, wodurch es B nun scheinbar zweimal gibt. Diese Darstellung halte ich jedoch für verständlicher als eine 3D-Darstellung, weil man dann denken könnte, dass der Winkel bei M ja gar nicht zusammen 360° (120° + 90° + 90°) ergibt... Blau ist gegeben, rot gesucht, grün schnell ersichtlich.

Zunächst betrachten wir die rechtwinkligen Dreiecke.

Es gilt dann: $$ \tan(30°)=\dfrac{h}{b} \Rightarrow h = \tan(30°) \cdot b. $$

Weiter ist: $$ \tan(15°) = \dfrac{h}{a} \Rightarrow a = \dfrac{h}{\tan(15°)}. $$

Ersetze nun \( h \): $$ a = \dfrac{h}{\tan(15°)} = \dfrac{\tan(30°) \cdot b}{\tan(15°)} \approx 2.155 b. $$

Nach dem Kosinussatz gilt nun aber: $$ (3.4 km)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°). $$

Ersetze nun \( a \) : $$ \begin{align} (3.4 \text{ km})^2 &= \Bigg ( \dfrac{\tan(30°) \cdot b}{\tan(15°)} \Bigg )^2 + b^2 - 2 \cdot \dfrac{\tan(30°) \cdot b}{\tan(15°)} \cdot b \cos(120°) \\  &= b^2 \Bigg ( \Bigg (\dfrac{\tan(30°)}{\tan(15°)} \Bigg )^2 + 1 - 2 \cdot \dfrac{\tan(30°)}{\tan(15°)} \cdot \cos(120°) \Bigg ) \approx 7.797 b^2 \\ \Rightarrow b &= \sqrt{\dfrac{(3.4 \text{ km})^2}{7.797}} \approx 1.218 \text{ km}. \end{align}$$

Nun setze oben wieder ein: \( h = \tan(30°) \cdot b \approx 0.7032 \text{ km} \). Meines Erachtens ziemlich umfangreich und aufwendig mit den Zahlenwerten, wenn man exakt rechnen mag.

Beste Grüße

Super, danke für die Mühe! :)