Darstellungsmatrix angeben

Aufrufe: 109     Aktiv: 22.02.2021 um 23:05

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Ich habe mich eben an einer Aufgabe versucht, zu der es aber keine Lösung gibt. Gegeben haben wir eine lineare Abbildung f: P2--> P2 (Polynome), p--> f(p) mit f(p)(x)=xp'(x).
Dazu soll man jetzt eine Darstellungsmatrix angeben.
Ich hätte jetzt als Basis B={1,x,x²} genommen und hätte dann als Darstellungsmatrix (0 1 2x) raus... 
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, ob mein Ergebnis bzw mein Vorgehen stimmt. Hat jemand eine Idee?
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Student, Punkte: 35

 

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1 Antwort
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In der gesuchten Matrix stehen immer Zahlen, nie x'e.
In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren, zerlegt in der Basis, d.  h. die in der Zerlegung auftretenden Koeffizienten. Also erste Spalte Bild des ersten Basisvektors usw.
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Lehrer/Professor, Punkte: 11.01K
 

Oh, dankeschön, das war mir nicht bewusst. Und wie bestimme ich das ? Ich stehe gerade komplett auf dem Schlauch...
Aber 1 Zeile und 3 Spalten stimmt?
  ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 17:54

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Nein, das ist ja ne Abbildung eines 3d-Raumes in einen 3d-Raum (den der Polynome vom Grad max. 2), also gesucht ist eine 3x3-Matrix. Wie lautet das Bild des ersten Basiselements? Und das dargestellt in der Basis?   ─   mikn 22.02.2021 um 18:17

(000) ? Also untereinander geschrieben   ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 18:31

Der erste Basisvektor ist p(x)=1. Was ist dann f(p)? Zerlegt in der Basis?   ─   mikn 22.02.2021 um 18:41

0? Weil die Ableitung von 1 ist null
Ich komme einfach nicht drauf:(
  ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 18:53

Ok, f(p)=0, und dann ist die Zerlegung in der Basis (0,0,0). Sorry, hab gerade nicht aufgepasst. Nun weiter mit den anderen beiden Vektoren.   ─   mikn 22.02.2021 um 19:06

Alles gut:) das hat mir schonmal sehr geholfen
Beim anderen: (010) und dann noch (011)
Also wäre die Matrix: (000,011,001) also auch untereinander ...
Stimmt das ?
  ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 19:09

(0 1 0) für den zweiten stimmt. aber der dritte stimmt nicht. Und dann die Matrix sorgfältig zusammensetzen.
  ─   mikn 22.02.2021 um 19:12

Okay, dankeschön das war sehr hilfreich:)!   ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 19:14

Gerne. Zusatzfrage: Was ändert sich, denn man im Defbereich die Basis 1, x, x^2 nimmt, und im Bildbereich x, x^2, 1? Und was, wenn man im Bildbereich 2, x+x^2, 1+x^2 nimmt? Bei letzterem muss man etwas rechnen. Nur damit Du Deinem nickname gerecht wirst ;-)
  ─   mikn 22.02.2021 um 19:23

Ich bin definitiv kein algebrafuchs ;) es fuchst mich sehr, aber ich kann die Frage nicht beantworten   ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 19:37

In der Zusatzfrage ist jetzt die Basis im Defbereich eine andere als im Bildbereich. In der ersten Frage ist nur die Reihenfolge anders. In einer Basis ist ja die Reihenfolge der Vektoren festgelegt. Dazu musst Du nicht neu rechnen. Bei der zweiten Frage ist schon etetwas zu rechnen.
Es wäre gut, wenn Du das richtig verstanden hast. So ein Aufgabentyp kommt sehr oft vor, wird jede Woche hier im Forum mehrmals gefragt.
Wie ist Dein Endergebnis für die Aufgabe in Deiner obigen Frage?
  ─   mikn 22.02.2021 um 20:06

Die Matrix wäre: 1. Spalte 000
2.Spalte: 010 und 3. Spalte: 021
  ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 20:29

Die 3. Spalte stimmt nicht.   ─   mikn 22.02.2021 um 22:13

Okay, dann komme ich nicht drauf, weiß auch nicht, wo mein Fehler liegt🧐   ─   algebrafuchs 22.02.2021 um 22:59

p(x)=x^2, dann f(p)=2x^2. Wie zerlegt sich das in der Basis?   ─   mikn 22.02.2021 um 23:05

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