Abgeschlossenheit der natürlichen Zahlen

Aufrufe: 438     Aktiv: 25.10.2021 um 21:23
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ich soll zeigen, dass die natürlichen zahlen bezüglich der Multiplikation und der Addition abgeschlossen sind. Dafür sollen wir die Axiome benutzten.

für die Addition habe ich mir folgendes gedacht :
A(n): n,m aus N so gilt n+m aus N
IA: n=0 n+m=0+m=m
IS sei n aus N beliebig und A(n) wahr: A(n+1)= (n+1)+m= (n+m)+1 
1 aus N und n+m durch A(n) aus N. 

ist das so richtig?

für die Multiplikation hab ich das:
A(n) n,m aus N gilt n*m aus N
IA: n=0 0*m=0 0 aus N
IS: sei n aus N beliebig und A(n) wahr: A(n+1): (n+1)*m = n*m+m aber dann weiss ich leider nicht weiter
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1 Antwort
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Hallo,

bei der ersten Aufgabe ist der Schluss nicht ganz korrekt. 
Wir nutzen hier den axiomatischen Aufbau der natürlichen Zahlen. Dort wird unteranderem gesagt, dass wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, $n+1$ auch eine ist. 
Also: IS
$$A(n+1) = (n+1)+m = (n+m) +1 $$
Da nach IV $n+m$ eine natürliche Zahl ist, muss nach den Axiomen der natürlichen Zahlen auch $(n+m)+1$ eine natürliche Zahl sein.

Beim zweiten Beweis, nutze die zuerst bewiesene Aussage. Nach IV ist $n \cdot m$ eine natürliche Zahl und nach Voraussetzung ist uach $m$ eine natürliche Zahl. Wir haben ja eben bewiesen, dass die Summe... (?)

Grüße Christian
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ah super dankeschön!!!:)   ─   anonymf76f7 25.10.2021 um 20:01
Sehr gerne :)   ─   christian_strack 25.10.2021 um 21:23

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