Hallo,

die Ableitung von

$$ f(t) = |\sin(t) |$$

ist 

$$ f'(t) = \frac {\sin(t) \cos(t)} {|\sin(t)|} $$

aber deine Idee ist trotzdem richtig. Nur forme so um

$$ | \sin(x) - \sin(y) | \leq | x - y | \Rightarrow |f'(\zeta) | = \left| \frac { \sin(x) - \sin(y) } {x-y} \right| \leq 1 $$

Dann kannst du die Funktion

$$ f(t) = \sin(t) $$

betrachten.

Grüße Christian

Ansatz und Idee gut und richtig. Aufschreiben und Vorgehen könnte besser sein. Die Struktur ist durcheinander. Zuerst sollte stehen, was f(x) ist (steht nirgendwo!), dann kommt die Zeile mit f'(E) aber ohne Betragsstriche! davor aber "laut MWS gibt es ein E mit". Dann kommt ausrechnen der Ableitung, aber ohne Betragsstriche! Dann die Abschätzung \(|\cos E| \le 1\) (mit Betragsstrichen). Dann  kommt der Differenzenquot kleiner gleich 1, und dann erst (vorher nicht), das rüberbringen auf die andere Seite.

Schreib das mal entsprechend um und schaue, ob es Dir danach nicht auch klarer vorkommt.