Lineare Abbildung auf einem K-Vektorraum

Erste Frage Aufrufe: 168     Aktiv: 02.12.2022 um 19:23

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Sei L→ eine lineare Abbildung auf einem K-Vektotrraum . Sei zusätzlich vund nmit
Ln(v≠ und Ln+1(v) = 0.

Zeigen Sie, dass v, L(v), . . . , Ln(v) linear unabhängig sind.



Ansatz:
Folgendes wäre mein Ansatz. Kann man das so machen und wenn ja wie gehe ich dann weiter vor?
 
Indanfang: Für n=1 wäre zu prüfen:

Wenn L (v) ̸= 0 und L2(v) = 0 dann v und L(v) lin. unabh.

Ansatz: a*v + b*L(v)=0   #

      ==>  L(a*v + b*L(v))=0

      ==>  a*L(v) + L(b*L(v))=0

      ==>  a*L(v) + b*L(L(v))=0

      ==>  a*L(v) + b*L2 (v)=0  wegen L2(v)=0

   =>  a*L(v) =0  wegen L(v)≠0 also a=0

Aus # folgt dann  b*L(v)=0  also auch b=0.

Insgesamt zeigt sich   v und L(v) lin. unabh.





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Ja der Induktionsanfang ist richtig, sehr gut! Als nächstes wir müssen annehmen die Aussage ist für \(n-1\) wahr. Wir gehen genau so vor wie eben. Seien \(\lambda_0,\ldots, \lambda_n \in K\) mit \(\sum_{i=0}^n \lambda_i L^i(v) =0 \). Dann wie bei dir es folgt durch anwenden von \(L\): $0=\sum_{i=0}^n \lambda_i L^{i+1}(v_i) =\sum_{i=0}^{n-1} \lambda_i L^{i+1}(v) $. Wende Induktionsannahme auf \(L(v)\) an, kommst du weiter?
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