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Sei L: V → V eine lineare Abbildung auf einem K-Vektotrraum V . Sei zusätzlich v∈V und n∈N mit
Ln(v) ≠ 0 und Ln+1(v) = 0.
Zeigen Sie, dass v, L(v), . . . , Ln(v) linear unabhängig sind.
Ansatz:
Folgendes wäre mein Ansatz. Kann man das so machen und wenn ja wie gehe ich dann weiter vor?
Indanfang: Für n=1 wäre zu prüfen:
Wenn L (v) ̸= 0 und L2(v) = 0 dann v und L(v) lin. unabh.
Ansatz: a*v + b*L(v)=0 #
==> L(a*v + b*L(v))=0
==> a*L(v) + L(b*L(v))=0
==> a*L(v) + b*L(L(v))=0
==> a*L(v) + b*L2 (v)=0 wegen L2(v)=0
=> a*L(v) =0 wegen L(v)≠0 also a=0
Aus # folgt dann b*L(v)=0 also auch b=0.
Insgesamt zeigt sich v und L(v) lin. unabh.