Begründe, dass die Aussage ℕ ⊂ ℤ fachmathematisch falsch ist

Aufrufe: 737     Aktiv: 28.04.2021 um 17:21
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Das hat ja irgendwie mit der Zahlenbereichserweiterung von N nach Z zu tun. Ich hätte es jetzt versucht, hiermit zu begründen:

Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist die Menge aller Klassen von zueinander differenzengleichen geordneten Paaren natürlicher Zahlen.

Jeder natürlichen Zahl wird eineindeutig eine Klasse aus ℕ × ℕ, also eine ganze Zahl zugeordnet. Das klappt , weil ein Isomorphismus vorliegt, d.h. es existiert eine Abbildung f definiert durch " x ∈ ℕ: f(x) = + x. Diese Abbildung f ist eine eineindeutige Abbildung von ℕ auf {x Î ℤ: x ≥ 0}. Jeder natürlichen Zahl wird eineindeutig eine nichtnegative ganze Zahl zugeordnet. 

Daraus lässt sich ja erschließen, dass N keine Teilmenge von Z ist sondern, dass Z gewonnen wird, indem jeder natürlichen Zahl eine Klasse aus ℕ × ℕ (also eine nichtnegative ganze Zahl) zugeordnet wird. 

Ist diese Begründung so richtig?
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Die Begründung ist so richtig. Man könnte auch formulieren, dass die natürlichen Zahlen nur isomorph zu einer Teilmenge der ganzen Zahlen sind.
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Vielen Dank! Weißt du zufällig auch, warum die Aussage ℕ ⊂ ℤ dann trotzdem zur Vereinfachung (in der Schule) verwendet werden kann?
Da weiß ich nicht, wie ich das begründen soll, meine Vermutung wäre ja, wenn man eben nichts über die Zahlenbereichserweiterung weiß und nur die Mengen N und Z betrachtet, ohne dass bei den positiven ganzen Zahlen ein Pluszeichen vor den Zahlen steht, dann kann man die Mengen im Venn-Diagramm darstellen und die positiven ganzen Zahlen würden übereinstimmen mit den natürlichen Zahlen, d. h. das wäre dann eben die Schnittmenge der beiden Zahlenbereiche.
Aber eigentlich ist das ja auch keine Begründung...   ─   usera70f42 28.04.2021 um 17:05
Erstens kommt das ganze natürlich darauf an, wie man die jeweiligen Zahlenmengen axiomatisch einführt. Zweitens könnte man auch hier eine natürliche Zahl als ganze Zahl definieren. Andererseits ist gerade genau der Hintergrund von Isomorphismen, dass man dann sagen kann das beide Sachen das gleiche sind.   ─   mathejean 28.04.2021 um 17:21

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