Erwartungswert (4)

Aufrufe: 204     Aktiv: 14.05.2022 um 19:19

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Bei einem Würfelspiel mit einem Würfel ist festgelegt, dass man die oben liegende Augenzahl in Euro ausbezahlt bekommt. Zur Verfügung stehen zwei faire Würfel A und B. Welchen Würfel würden sie wählen? Begründen Sie Ihre Auswahl. 

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gefragt

Student, Punkte: 73

 

dann mach! wir korrigieren nötigenfalls.   ─   honda 08.05.2022 um 20:21

Also langsam wird's frech. Gibt es eigentlich keine Möglichkeit, unabhängig der Fragen, User zu melden...?   ─   cauchy 08.05.2022 um 20:22

"Also langsam wird's frech. Gibt es eigentlich keine Möglichkeit, unabhängig der Fragen, User zu melden...?"

Ist es den verboten mehrere Fragen parallel zu stellen? Vor allem will ich ja keine pfannenfertige Lösung.... ich muss die Aufgaben ja verstehen....
  ─   ac83 08.05.2022 um 20:28

vermutlich bezieht sich "frech" nicht auf die Anzahl sondern die Art.   ─   honda 08.05.2022 um 20:34

...was stimmt den an meiner "Art" nicht? Verstehe nicht...   ─   ac83 08.05.2022 um 20:35

@ac83 du kannst ja wenigstens eine anständige Frage formulieren zu deiner Aufgabenstellung. So wie du die Fragen stellst klingt es wie oft hier im Forum so in der Art wie „bitte lösen“. An dieser Stelle möchte ich vielleicht einmal freundlich auf unseren Kodex verweisen:
https://www.mathefragen.de/artikel/22ed83e199de247c/unser-kodex/
„Wir bitten den Fragesteller darum, …“
  ─   maqu 08.05.2022 um 20:38

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Vielleicht solltest du dir mal klar machen, dass hier keine Lösungsalgorithmen sitzen, sondern Menschen, die dir und anderen (unentgeltlich und in ihrer Freizeit) Hilfe geben. Sogar beim Bäcker (und der verdient an dir) bist du hoffentlich höflicher: (ein Brot bitte und nicht etwa: Tasche füllen, muss 1 Woche reichen)   ─   honda 08.05.2022 um 20:43

Es geht nicht nur um die Art, sondern auch um die Menge. Es werden haufenweise Fragen reingestellt, ohne auch nur ansatzweise das Problem zu erläutert oder eigene Ideen vorzustellen. Von einem Studenten erwarte ich einiges mehr an Eigeninitiative und Selbstständigkeit. Aber man kann und sollte zumindest erklären, was man nicht versteht und was man schon versucht hat. Dann kann man auch viel besser helfen.   ─   cauchy 08.05.2022 um 20:44

Verstehe.. nein ich will schon nicht, dass man's mir vorlöst. Aber, wenn ich keine eigenes Input direkt mitgeben kann, dann ist es vielleicht wirklich so, dass ich nicht weiss, wo anfangen. Ich denke nicht, dass hier die Idee ist, als "Hilfe-Beansprucher" etwas hinschreibt um etwas gemacht zu haben. Schön wär's wenn wir's zusammen bearbeiten könnten. Wenn jemand helfen kann/will kann er/sie helfen. Ich glaube dafür sind diese Online-Foren auch da. Ich versuch, da wo möglich meine Versuche mitzuschreiben. Ich werde in den nächsten Wochen mich mit diesen gestellten Fragen beschäftigen.... Auf Hilfe bin ich dankbar.   ─   ac83 08.05.2022 um 20:49

letztlich ist es ja schon die Art. Wenn gefragt würde, wo man nicht weiterkommt, dabei die Vorüberlegung dargestellt würde und gemeinsam die Lösung erarbeitet, wäre die Anzahl der Fragen sicher kein Problem (wobei man dann auch nicht staccatoartig Fragen posten könnte ;)   ─   honda 08.05.2022 um 20:54

OK. Zu viele Fragen aufs mal, ich sehe es. Message ist rübergekommen :)   ─   ac83 08.05.2022 um 20:58

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Erster Schritt sind immer die eigenen Unterlagen. Schonmal nachgeschaut, was der Erwartungswert ist? Das ist übrigens eine Aufgabe, die so bereits in der Schule vorkommt und nicht einmal Uni-Niveau hat. Als Student muss man lernen, zu recherchieren und mit den eigenen Unterlagen zu arbeiten. Ich sag ja, Selbstständigkeit vermisse ich hier bei den Studenten grundsätzlich.

Es geht nicht allein um die Menge. Wenn man 20 Fragen hat, hat man 20 Fragen. Wenn man sich allerdings mit keiner dieser Fragen wirklich auseinandergesetzt hat, hat das immer einen faden Beigeschmack. Anders sieht das aus, wenn man bei jeder Frage, seine Ideen und Versuche mitgeliefert hat. Allerdings sollte man auch erstmal eine Frage klären, bevor man dann mit den anderen Fragen weitermacht, denn ganz offensichtlich fehlen mal wieder sämtlich Grundlagen. Wenn man sich aber mal Frage für Frage mit dem Stoff beschäftigt, klären sich möglicherweise auch die anderen Fragen von selbst.
  ─   cauchy 08.05.2022 um 21:00

Schonmal nachgeschaut, was der Erwartungswert ist? --> Ich werd nochmals nachgucken, was das ist. Ich meld mich wieder sobald ich recherchiert und mich an diese Aufgabe herangemacht habe.
Cauchy: Ich verstehe deinen Standpunkt, aber glaub's mir es ist nicht ganz leicht. Ich mach ein Fernstudium und arbeite noch 100% nebenbei. Dann ist es auch so, dass ich nebst Mathe, je nach Semester 3-4 Fächer habe.

Ich würde mich freuen, wenn du auch meinen Standpunkt verstehen würdest.
Alles klar, ich finde mehr heraus und dann melde ich mich wieder, für diese Aufgabe, sowie für die anderen Aufgaben, in Ordnung.
  ─   ac83 08.05.2022 um 21:10

Würfel A: E(X)= 7* (1/6)+ 7*(1/6)+ 10*(1/6) +0*(1/6)+0*(1/6)+0*(1/6)= 1,16+1,16+1,66+0+0+0= 3,98
Würfel B: E(X)= 3* (1/6)+ 6*(1/6)+ 6*(1/6) +1*(1/6)+3*(1/6)+6*(1/6)= 0,48+0,96+0,96+0,16+0,48+0,96= 4

Ich habe die Erwartungswerte für beide Würfel berechnet, aufgrund der gegebenen Augenzahlen.

Grundsätzlich wäre die Wahl des Würfels egal. Der Würfel ist nicht gezinkt.
  ─   ac83 08.05.2022 um 21:43

Ansatz richtig, aber bitte nochmal nachrechnen. Du hast böse Rundungsfehler drin. Rechne bitte mit Brüchen, denn $6\cdot \frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$, du hast aber $0{,}96$ raus. Ist es dann immer noch egal, welchen Würfel man nimmt? Aber schau mal, geht doch, wenn man sich einmal damit beschäftigt! Das fördert übrigens das Verständnis viel besser.

Zu deinem Standpunkt: Sicherlich verstehe ich deinen Standpunkt, Verständnis dafür habe ich aber wenig. Wenn man studiert, ganz gleich, ob Fernstudium oder normales Studium, sollte man sich dessen bewusst sein, dass man etwas dafür tun muss. Wenn man das nicht möchte oder kann (aus welchen Gründen auch immer), ist ein Studium die falsche Entscheidung. Sich nicht selbst mit dem Stoff (für welches Fach auch immer) zu beschäftigen, zieht immer große Nachteile mit sich. Damit werden die Prüfungen nämlich nicht leichter.
  ─   cauchy 08.05.2022 um 21:55

OK zum ersten Abschnitt, ich meld mich wieder sobald ich mit Brüchen das nachgerechnet habe.
OK zum zweiten Abschnitt.
  ─   ac83 08.05.2022 um 22:05

Würfel A: E(X)= 7* (1/6)+ 7*(1/6)+ 10*(1/6) +0*(1/6)+0*(1/6)+0*(1/6)= (7/6)+(7/6)+(10/6)+(7/6)+0+0+0=31/6 --> als gemischter Bruch: 5 1/6
Würfel B: E(X)= 3* (1/6)+ 6*(1/6)+ 6*(1/6) +1*(1/6)+3*(1/6)+6*(1/6)= (3/6)+(6/6)+(6/6)+(1/6)+(3/6)+(6/6)=25/6 --> als gemischter Bruch: 4 1/6
  ─   ac83 08.05.2022 um 22:13

A stimmt nicht. Du hast einmal die 7 zu viel. Umrechnung in einen gemischten Bruch braucht und macht man in der Regel nicht. Es fehlt dann noch die Begründung.   ─   cauchy 08.05.2022 um 22:17

Würfel A: E(X)= 7* (1/6)+ 7*(1/6)+ 10*(1/6) +0*(1/6)+0*(1/6)+0*(1/6)= (7/6)+(7/6)+(10/6)+0+0+0=24/6
Würfel B: E(X)= 3* (1/6)+ 6*(1/6)+ 6*(1/6) +1*(1/6)+3*(1/6)+6*(1/6)= (3/6)+(6/6)+(6/6)+(1/6)+(3/6)+(6/6)=25/6

jetzt müsste es passen...
  ─   ac83 08.05.2022 um 22:21

Zur Begründung: Die Würfeln sind fair. Bei noch mehr Würfen, würde ich meinen wird's noch fairer...Es ist wird immer "mehr fairer" wenn man noch mehr würfelt.   ─   ac83 08.05.2022 um 22:23

Fair ist fair. :D Fairer gibt's nicht. ;) Ja, jetzt passts und $\frac{24}{6}=4$. ;) Die Frage ist viel mehr, warum die Würfel fair sind. Die Erwartungswerte sind ja nicht gleich (liefern hier aber auch keine gute Begründung).   ─   cauchy 08.05.2022 um 22:26

Gut. Danke. Diese Frage ist nun geklärt.   ─   ac83 08.05.2022 um 22:32

Ist die Frage wirklich geklärt? Welchen Würfel würdest Du denn nun wählen?
Ich lese bereits in der Aufgabe, dass beide Würfel fair sind - das ist also gar nicht die Frage - und das kann deshalb nicht die gesuchte Antwort zur Aufgabe sein.

Warum berechnet man denn überhaupt die Erwartungswerte? Steht doch in der Aufgabe gar nicht drin.... und nur das Ergebnis des Erwartungswertes sagt prinzipiell auch nichts darüber aus, ob der Würfel fair ist. Dazu muss man die Rechnung kennen...

Ergänzung: Auch die Antwort von mathe42 ergibt nur dann einen Sinn, wenn man die Begrifflichkeiten (fair und Erwartungswert) wirklich verstanden hat.
  ─   joergwausw 09.05.2022 um 22:34

Hallo joergwausw

Entschulige, aber ich habe deinen Kommentar gerade eben gesehen/bemerkt! Ja, in der Formulierung zumindest, wird nicht ausdrücklich nach dem Erwartungswert gefragt. Mich irritiert, allerdings, die Zahl 10 gibt's auf einer Würfelseite ja normalerweise nicht. Es ist entweder 1,2,3,4,5,6.
Dass der Fragensteller mit höheren Zahlen wie 6 kommt sprich, auf der Würfelseite darstellt, sorgt(e) für mich schon mal für Unklarheit. Ist jetzt beispielweise mit der Zahl 10 gemeint, dass 10 Mal "dieselbe Seite" gewürfelt wurde?

Der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments/Würfelns.
Was bedeutet es den, wenn beide Erwartungswerte (fast) identisch sind? Es müsste ja dann (fast) keine Rolle spielen, welchen Würfel ich wähle?
  ─   ac83 12.05.2022 um 23:09

Die wirfst hier natürlich nicht mit einem normalen Spielwürfel, sondern eben mit den dargestellten Würfeln. Das hat also rein gar nichts mit einem normalen Würfel zu tun. Und wieso ist der Mittelwert hoch 10?   ─   cauchy 12.05.2022 um 23:15

Das mit "hoch" war ein Schreibfehler, habe ich auch bemerkt... hab's korrigiert dann...   ─   ac83 12.05.2022 um 23:18

Fast keine Rolle? Oder keine Rolle? Ist der Sinn der Frage denn überhaupt klar? Bzw. wonach würdest du deinen Würfel auswählen? Nehmen wir mal einen Würfel, der auf einer Seite eine 60 hat und auf den anderen Seiten 0. Dann einen Würfel, der auf allen Seiten eine 10 hat. Der Erwartungswert beider Würfel ist 10. Welchen Würfel würdest du nehmen? Oder ist das egal?   ─   cauchy 12.05.2022 um 23:25

Gutes Beispiel. Ich würde den Würfel nehmen, der auf allen Seiten die Zahl 10 hat. Wieso? Die würfeln sind fair. Die Wahrscheinlicheit, sprich die Verteilung der Wahrscheinlichkeit ist bei beiden würfeln "gleichwahrscheinlich" (ich weiss nicht wie ich das anderst ausdrücken soll), um zu würfeln, Es ist also gleich wahrscheinlich 60 würfeln wie 0 zu würfeln, eben da die Würfeln fair sind. Also letztendlich würde ich nach Besetzung (Anzahl Seiten, an der eine Zahl steht) der Würfelseite meinen Entscheid fällen.   ─   ac83 12.05.2022 um 23:31

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Das was hier mit "gleichwahrscheinlich" gemeint ist, ist dass jede der sechs Seiten des Würfels mit gleicher wahrscheinlichkeit "oben" ist, Wenn aber nur eine der 6 Seiten die "60" hat, und die anderen 5 Seiten "0", dann ist "60" und "0" sicher NICHT gleichwahrscheinlich!   ─   mathe42 12.05.2022 um 23:39

Das was hier mit "gleichwahrscheinlich" gemeint ist, ist dass jede der sechs Seiten des Würfels mit gleicher wahrscheinlichkeit "oben" ist, --> richtig (1/6)
aber: 60 zu würfeln ist ja potentiell auch möglich, da allerdings 5 andere Seiten existieren, ist es unwahrscheinlich hintereinander mehrmals die Seite 60 zu würfeln... Wenn alle anderen 5 Seiten mit der Zahl 0 versehen sind, dann entscheide ich mich doch nicht für diesen Würfel.
  ─   ac83 12.05.2022 um 23:54

Das wesentliche ist, dass auch bei genau einem Wurf der "60"er eben nur mit W. 1/6 gewürfelt wird. Eine "Gleichwahrscheinlichkeit" zwischen "60" und "0" würde aber bedeuten, dass "60" mit W. 1/2 käme, was hier aber eben nicht der Fall ist.

Dass bei dem Würfel sowohl "60" als auch "0" *möglich* sind, solltest du nicht mit "gleichwahrscheinlich" bezeichnen. Nicht alles aus der Umgangssprache ist Mathe-tauglich ;-)

Und ob du lieber den anderen Würfel nimmst, hängt natürlich vom anderen Würfel ab - im Falle des "10 auf allen Seiten" ist es im prinzip wurscht, also letztlich von deiner Risiko-freude, oder auch von anderen Faktoren abhängig.
  ─   mathe42 13.05.2022 um 00:19

Und warum entscheidest du dich dagegen? Ich bin noch nicht überzeugt, dass du das Wesentliche verstanden hast.   ─   cauchy 13.05.2022 um 00:23

war ich ja auch nicht... spannend, dass das jetzt nochmal hochkocht. Und offensichtlich auch nötig.

Die Frage, welcher Würfel gewählt werden sollte, kann man natürlich vielfältig beantworten. Und ehrlich gesagt, steht in der Aufgabe vieles gar nicht drin.

Das Argument, den Würfel zu wählen, der überall Werte größer Null hat, ergibt für den Spieler genau dann Sinn, wenn nur einmal (oder auch: nur wenige Male) gespielt wird und es keinen oder nur einen kleinen Einsatz gibt. Denn dann hat man eine 100%ige Chance darauf etwas zu bekommen. Bei dem anderen Würfel bekommt man sehr viel, wenn man etwas bekommt, aber sonst nichts.

Oftmals sind die Fragen aber so gemeint, dass nicht einmal gespielt wird, sondern oft, im Extremfall beliebig oft.
Und dann ist es für den Veranstalter des Spiels natürlich besser, wenn man langfristig möglichst wenig Geld an die Spieler bezahlen muss. Umgekehrt ist es für die Spieler vorteilhaft, wenn langfristig mehr Geld ausbezahlt wird.
(und die Sichtweise "Spieler oder Spiel-Veranstalter" ist in der Aufgabenstellung gar nicht vorgegeben...)

Nehmen wir also das übliche an: Du bist der Spieler und möchtest bei vielen Spielen am Ende möglichst viel gewinnen.
Das "Gesetz der großen Zahlen" besagt für einen fairen Würfel, dass sich langfristig bei einem fairen Würfel die Häufigkeit (Achtung: nicht die Wahrscheinlichkeit) des Auftretens einer der 6 Zahlen dem Wert 1/6 nähert.
Zur Verdeutlichung: Die Wahrscheinlichkeit, dass nach 6 Millionen Spielen jede(!) Seite exakt 1 Million mal oben gelegen hat, ist sehr klein.
Und es gibt auch eine Wahrscheinlichkeit von mehr als Null (aber nicht viel mehr), dass bei 6 Millionen Spielen eine Seite nie gewürfelt wird. Kann theretisch und praktisch vorkommen, ist aber sehr unwahrscheinlich.

Wenn beispielsweise eine Seite nur 0,99 Millionen mal vorgekommen ist (also 10.000 mal weniger oft als erwartet), dann ist die große Anzahl der Abweichungen von 10.000 prozentual gesehen sehr gering (1% von einer Million, 1/6 % von allen Spielen). Wenn man also oft genug spielt, dann spielen die tatsächlich auftretenden Abweichungen vom "Idealfall" eine immer geringere Rolle.

(Bemerkung: Wenn man also langfristig auf jeden Fall gewinnen will, muss man dafür sorgen, dass man genug Geld zum Einsetzen hat. Denn derjenige, der zu wenig hat, muss aussteigen und kann bei anfänglichen hohen Abweichungen zu eigenen Ungunsten die auftretenden statistisch gesehen "vorübergehenden" Verluste nicht mehr ausgleichen. Die "Bank" hat da einen Vorteil, weil sie von ihrer Versicherung Geld zur Überbrückung bekommt, wenn sie mathematisch nachweisen kann, dass sie es langfristig zurückbezahlen kann...)


Wenn man nun entscheiden soll, welchen Würfel man wählt, dann geht man davon aus, dass langfristig jede Seite "ungefähr" gleich häufig (das gilt für den fairen Würfel) auftritt. Und damit ist man dann beim Erwartungswert, bei dem die langfristig zu erwartenden Häufigkeiten durch die Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden.
  ─   joergwausw 13.05.2022 um 16:43

@mathe42: "Das wesentliche ist, dass auch bei genau einem Wurf der "60"er eben nur mit W. 1/6 gewürfelt wird. Eine "Gleichwahrscheinlichkeit" zwischen "60" und "0" würde aber bedeuten, dass "60" mit W. 1/2 käme, was hier aber eben nicht der Fall ist.

Dass bei dem Würfel sowohl "60" als auch "0" *möglich* sind, solltest du nicht mit "gleichwahrscheinlich" bezeichnen. Nicht alles aus der Umgangssprache ist Mathe-tauglich ;-)

Und ob du lieber den anderen Würfel nimmst, hängt natürlich vom anderen Würfel ab - im Falle des "10 auf allen Seiten" ist es im prinzip wurscht, also letztlich von deiner Risiko-freude, oder auch von anderen Faktoren abhängig."

--> Die W'keit 1/2 würde bedeuten, dass 3 Seiten des Würfels 60 sind und die anderen Seiten würfeln 0.

"Dass bei dem Würfel sowohl "60" als auch "0" *möglich* sind, solltest du nicht mit "gleichwahrscheinlich" bezeichnen. Nicht alles aus der Umgangssprache ist Mathe-tauglich ;-)" --> OK.

@cauchy - zu deinem Kommentar: "Und warum entscheidest du dich dagegen? Ich bin noch nicht überzeugt, dass du das Wesentliche verstanden hast." --> Du meinst, warum ich mich nicht für den Würfel mit 60 auf 1 Seite und 0 auf anderen 5 Seiten entscheide? Beim diesem Würfel ist die W'keit letztendlich viel zu hoch 0 zu würfeln, genauer 5/6. Wolltest du mein Verständnis prüfen (also wissen), ob's verstanden habe, jetzt in Zusammenhang mit dem Erwartungswert?
  ─   ac83 13.05.2022 um 22:58

Ich wollte dir damit zeigen, dass der Erwartungswert in diesem Fall (also bei dieser Aufgabe) kein gutes Maß für die Wahl des Würfels ist.   ─   cauchy 13.05.2022 um 23:13

Es ging cauchy vermutlich eher darum, dass Deine Begründung nur für ein "kurzes Spiel" taugt (lies meinen vorigen Kommentar)...

Anders formuliert: Nimm mal an, dass auf dem linken Würfel statt der 10 eine Million ist und statt der 7 ein Haus im Grünen im Wert von 700.000 Euro. Der rechte Würfel bleibt gleich.

Würdest Du dann immer noch den rechten Würfel nehmen?
  ─   joergwausw 13.05.2022 um 23:20

Nein, dann den linken Würfel.   ─   ac83 13.05.2022 um 23:37

und jetzt ist die Frage: Warum jetzt der andere Würfel? Klare Sache, auf dem rechten Würfel gibt's nichtmal ein vernünftiges Taschengeld und beim linken ist die WK immerhin 50%, reich zu werden (übrigens: ein Haus zu gewinnen muss nicht unbedingt gut sein, wenn man sich die laufenden Kosten nicht leisten kann...). Das ist aber so noch kein mathematisches Argument.

Die Wahrscheinlichkeit, ob Du etwas gewinnst oder nicht, hat sich letztlich gar nicht verändert (beim linken Würfel gewinnst Du etwas in 50% der Ergebnisse, beim rechten Würfel immer). Es hat sich aber verändert, wie viel Du gewinnen kannst.

Also ist Deine bisherige Begründung, basierend auf der Anzahl der Felder mit irgendwelchen(!) Gewinnen, nicht unbedingt sinnvoll. Die Werte, die Du möglicherweise gewinnen kannst, spielen auch eine Rolle. Und die werden beim Erwartungswert berücksichtigt. Also zurück zu den Werten auf den gegebenen Würfeln.

Vergleiche die beiden Erwartungswerte, die Du oben berechnet hast. Was sagen die denn nun aus?
  ─   joergwausw 13.05.2022 um 23:48

Es ist egal, welchen Würfel ich wähle (sagt es aus).   ─   ac83 14.05.2022 um 00:21

Waren Die Ergbnisse nicht einmal 25 Viertel und einmal 24 Viertel?   ─   joergwausw 14.05.2022 um 08:25

24/6 und 25/6   ─   ac83 14.05.2022 um 10:47

Sorry, Sechstel, nicht Viertel (habe nicht gescrollt...) - der Unterschied ist nicht riesig, aber doch da. Was sagt der denn nun aus?   ─   joergwausw 14.05.2022 um 19:19
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1 Antwort
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Stell dir vor, du dürftest 6 mal "würfeln", aber statt richtig zu würfeln würde der von dir gewählte Würfel einfach nur 6mal von einem Roboter so hingestellt werden, dass jede physikalische Seite genau einmal oben ist.  Welchen Würfel würdest du dann vom Robotor 6mal hinstellen lassen?
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geantwortet

Punkte: 265

 

Falls alle 6 verschiedene Seiten zu sehen sein sollten. Dann alle Augenzahlen je einmal, also von 1,2,3,4,5,6.
Ich vermute allerdings, dass der Roboter willkürlich eine der 6 Seiten würfeln wird. Habe ich deine Frage richtig verstanden?
  ─   ac83 09.05.2022 um 19:02

Es geht ja nicht um einen "normalen" Würfel, sondern um Würfel, mit den in der Angabe gezeigten Augenzahlen auf den Seiten.

Fall du Schwierigkeiten hast, dir die angegebenen Würfel vorzustellen, dann zeichne die Figuren auf ein Blatt Papier, schneide es aus, und dann falte einen Würfel daraus :-) Die Darstellung ist so gemacht, dass man eben alle Seiten auf einmal sieht...
  ─   mathe42 09.05.2022 um 21:46

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