Die notwendige Bedingung im R^2 ist \(\nabla f(x,y)=\binom00\). Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine Lösung ist immer ein Zahlenpaar (x,y), nie ein x-Wert oder ein y-Wert alleine. Genau wie im linearen Fall: ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten hat als Lösung einen Vektor (x,y).
Bei der Berechnung fällt oft zuerst ein x-Wert an, aber aus diesem konkreten x-Wert berechnet sich dann der zugehörige y-Wert, mit dem er ein Zahlenpaar bildet. Den zugehörigen y-Wert findet man durch Einsetzen dieses konkreten x-Werts in eine der Gleichungen.
Man kann bei Unsicherheiten immer die Probe machen, aber mit dem Zahlenpaar.
Also darauf achten, dass am Ende der Rechnung als Lösungsmenge ZahlenPAARE angegeben werden.

Ganz oft hast Du Funktionen $f:x\longrightarrow y$ gegeben, die für jeden beliebigen Wert von $x$ einen $y$-Wert zuordnen. Dass man kein maximales oder minimales $x$ sucht, ist deshalb klar.

Wenn Du die Funktion als Graph darstellst (und die Funktion nicht konstant ist), dann ändert sich der $y$-Wert, wenn sich der $x$-Wert ändert. Gesucht sind also diejenigen $x$-Werte, für die der $y$-Wert etwas besonderes ist (eine Nullstelle, eine Extremstelle, eine Wendestelle).
Deshalb bekommst Du durch Deine Bedingungen auch immer einen $x$-Wert heraus - schließlich setzt Du für $y$ oder für $f'(x)$ usw. etwas ein und gibst etwas vor.
Insbesondere haben $x_1$ und $y_1$ in den meisten Fällen nicht den gleichen Wert (wenn das in Deinem Beispiel "Zufall" war, ok. Wenn Du das Ergebnis für $x_0$ auch für $y_0$ kopiert hast, dann ist das falsch.

Mit "Stelle" ist immer der besondere $x$-Wert gemeint, also z.B. $x_0$. Dort gibt es etwas Besonderes.
Mit "Punkt" ist der Punkt $(x_0/y_0)$ auf dem Graphen gemeint. Den Wert $y_0=f(x_0)$ bekommt man, wenn man die Stelle $x_0$ in die Funktion einsetzt.

Wenn in Deinem Beispiel also $x_1=0$ und $y_1=0$ ist und außerdem $x_1=-2$ und $y_2=-2$, dann liegen die Punkte $(0/0)$ und $(-2/-2)$ auf dem Graphen von $f$.
Die Punkte $(0/-2)$ und $(-2/0)$ liegen nicht auf dem Graphen, deshalb ist da auch nichts.

Kann es sein, dass Du Dir nochmal anschauen solltest, was eigentlich eine Funktion ist?