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Hallo zusammen, 
wenn ich bei der notwendigen Bedingung die möglichen Punkte aufstelle für die Untersuchung auf EP oder SP, bekomme ich verschiedene Werte für x und y heraus. 
Sagen wir mal: x1=0, x2= -2, y1=0, y2=-2. Wieso habe ich hier nur die die beiden Punkte: P1(0/0) und P2(-2/-2) anstatt dazu noch P(0/-2) und P (-2/0) bzw. wieso untersuche ich nur diese?
Wie kann man da allgemein vorgehen? Es gibt mal 4 Punkte, 3 Punkte, 2 Punkte oder keine Punkte. 







Vielen Dank! 

Torty
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Student, Punkte: 44

 

Die potentiellen Extremwerte bestimmen sich aus dem Gleichungssystem \(f_x=0\) und \(f_y=0\), und das liefert immer Paare (x,y). In Deinem fall sollten x1 und y1 ein Paar bilden und x2 mit y2.   ─   professorrs 11.07.2021 um 13:49
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2 Antworten
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Die notwendige Bedingung im R^2 ist \(\nabla f(x,y)=\binom00\). Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine Lösung ist immer ein Zahlenpaar (x,y), nie ein x-Wert oder ein y-Wert alleine. Genau wie im linearen Fall: ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten hat als Lösung einen Vektor (x,y).
Bei der Berechnung fällt oft zuerst ein x-Wert an, aber aus diesem konkreten x-Wert berechnet sich dann der zugehörige y-Wert, mit dem er ein Zahlenpaar bildet. Den zugehörigen y-Wert findet man durch Einsetzen dieses konkreten x-Werts in eine der Gleichungen.
Man kann bei Unsicherheiten immer die Probe machen, aber mit dem Zahlenpaar.
Also darauf achten, dass am Ende der Rechnung als Lösungsmenge ZahlenPAARE angegeben werden.
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Lehrer/Professor, Punkte: 15.45K

 

Danke! Das mit den Zahlenpaaren habe ich verstanden. Der Z-Wert ist das unser Y-Wert wie wenn es nur f(x) geben würde.
Aber wie finde ich ohne zu zeichnen heraus, welche Paare ich untersuchen soll? In der Lösung wurden nur zwei Punkte mit zwei Paaren untersucht und die anderen weggelassen. Eventuell ergibt sich das wenn man alle Paare einmal einsetzt und ausrechnet aber das würde extra Zeit kosten.
  ─   brammberger 11.07.2021 um 14:25

Ja, im R^2 ist der z-Wert der Funktionswert. Bei \(f:R^2\to R\) ist der Graph \(\{(x,y,f(x,y)) | (x,y)\in R^2\}\).
Die Paare fallen nicht vom Himmel, sondern sind Lösungen eines Gleichungssystems, s.o. Wenn Du diese Lösung, von der Du sprichst, hochlädst, kann ich das genauer erklären.
  ─   mikn 11.07.2021 um 14:33

Ohne f(x,y) zu kennen kann man das nicht sagen. Hab als Beispiel das f(x,y) aus Deiner vorigen Frage durchgerechnet, damit erhalt man (mit den Kriterien aus meiner vorigen Antwort "Hinreichende Bedingung..."): HP in (1,-3), TP in (-2,3).
Ich sagte auch: in allen anderen Situationen kann alles mögliche passieren. Das trifft hier auf (-2,0) und (1,0) zu. Da gibt es kein allgemeingültiges Rezept. Eine Zeichnung kann helfen zu klären, was in diesen Punkten passiert, manchmal aber auch nicht. Hängt vom konkreten f ab.
  ─   mikn 11.07.2021 um 15:25

@Mikn Ich habe die Lösung oben hinzugefügt. Danke für deine Zeit!   ─   brammberger 11.07.2021 um 15:38

Ok, alles klar. Aber was ist jetzt offen? \(e^{x-y}=1 \iff x=y\), also kommen nur Paare mit 1.Komp.=2.Komp. raus. Es gibt zwei Lösungen, die sich mit dem Kriterium mit der Ungleichung vollständig klären lassen. Alles gut, meine ich. Oder?
(0,-2) und (-2,0) sind eben KEINE Lösung des GSs. Wie man an der Herleitung sieht. Unabhängig davon auch an der Probe (gemacht?).
  ─   mikn 11.07.2021 um 15:49

Jetzt ist alles klar. Vielen Dank!   ─   brammberger 11.07.2021 um 15:55

Gut. Für die Lösung solcher GSe gibt es keine(!) Rezepte, das ist reine Übungssache (und dazu muss man selbst rechnen, nicht Lösungen nacharbeiten). Allgemein sollte man faktorisieren, wenn's geht und NICHT durch Variablen dividieren (weil das Fallunterscheidungen nötig macht, was lästig ist).
  ─   mikn 11.07.2021 um 16:00

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Ganz oft hast Du Funktionen $f:x\longrightarrow y$ gegeben, die für jeden beliebigen Wert von $x$ einen $y$-Wert zuordnen. Dass man kein maximales oder minimales $x$ sucht, ist deshalb klar.

Wenn Du die Funktion als Graph darstellst (und die Funktion nicht konstant ist), dann ändert sich der $y$-Wert, wenn sich der $x$-Wert ändert. Gesucht sind also diejenigen $x$-Werte, für die der $y$-Wert etwas besonderes ist (eine Nullstelle, eine Extremstelle, eine Wendestelle).
Deshalb bekommst Du durch Deine Bedingungen auch immer einen $x$-Wert heraus - schließlich setzt Du für $y$ oder für $f'(x)$ usw. etwas ein und gibst etwas vor.
Insbesondere haben $x_1$ und $y_1$ in den meisten Fällen nicht den gleichen Wert (wenn das in Deinem Beispiel "Zufall" war, ok. Wenn Du das Ergebnis für $x_0$ auch für $y_0$ kopiert hast, dann ist das falsch.

Mit "Stelle" ist immer der besondere $x$-Wert gemeint, also z.B. $x_0$. Dort gibt es etwas Besonderes.
Mit "Punkt" ist der Punkt $(x_0/y_0)$ auf dem Graphen gemeint. Den Wert $y_0=f(x_0)$ bekommt man, wenn man die Stelle $x_0$ in die Funktion einsetzt.

Wenn in Deinem Beispiel also $x_1=0$ und $y_1=0$ ist und außerdem $x_1=-2$ und $y_2=-2$, dann liegen die Punkte $(0/0)$ und $(-2/-2)$ auf dem Graphen von $f$.
Die Punkte $(0/-2)$ und $(-2/0)$ liegen nicht auf dem Graphen, deshalb ist da auch nichts.

Kann es sein, dass Du Dir nochmal anschauen solltest, was eigentlich eine Funktion ist?
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Punkte: 640

 

Danke aber wie löse ich das ohne den Graphen zu zeichnen? Ich erkenne es ja schon kaum bei der Zeichnung
https://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP155217425h1883e7g56i000045aiba25e5df1330?MSPStoreType=image/gif&s=46
  ─   brammberger 11.07.2021 um 14:19

Habe das f(x;y) übersehen - ich ging von Funktionen auf $\mathbb{R}$ aus - damit ist das von mit Geschriebene eh obsolet... Sorry.   ─   joergwausw 11.07.2021 um 14:56

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