Eine Normale ist orthogonal zu einer Tangente. Hat die Tangente die Steigung m, so hat die Normale die Steigung -1/m.

Wie geht man hier vor? Wenn die Normale die x-Achse unter einem Winkel von 45° schneidet, ist ihre Steigung gleich 1 oder -1. Die zugehörige Tangente hat dann die Steigung -1 bzw. 1. Gesucht sind somit zunächst die Punkte des Funktionsgraphs (der Normalparabel), an denen die Steigung, s.h. die Ableitung den Wert +1 oder -1 hat.

Also leitet man f(x) ab: `f'(x) = 2x` und setzt die Ableitung = 1 oder = -1. Man erhält `x= +-1/2`. Wenn man das noch in f(x) einsetzt, erhält man den Berührpunkt `(+-1/2| 1/4)`. Bei `x= +1/2` ist die Ableitung = +1, die Normale hat also die Steigung -1 und aus der Punktsteigungsform der Geradengleichung erhält man `n:  y = -(x-1/2) + 1/4 = -x +3/4`. Diese Gerade muss man mit der x-Achse schneiden, man setzt also y = 0 und erhält: `0 = -x +3/4`, also `x = 3/4`. Somit hat P die Koordinaten `(3/4|0)`. Mit `x = -1/2` erhält man entsprechend den zweiten Punkt für die zweite Normale mit den Koordinaten `(-3/4|0)`.