Wie rechne ich mit der Landau-Notation?

Aufrufe: 56     Aktiv: 06.02.2021 um 15:16

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Hallo zusammen

Ich befasse mich gerade mit Taylorapproximationen. Dabei wird die Landau-Notation verwerdet von welcher ich aber nicht ganz schlau werde wie ich nun explizit damit rechnen darf.
Wir haben sie wie folgt definiert \(f(x)=o(g(x))\) für \(x->x_0\) wenn \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}=0}\). Ich werde aber wirklich nicht schlau aus dieser Notation, vorallem wenn es um Beispiele wie diese hier geht:

Könnte mir jemand helfen wie ich mit Landau rechnen kann?

Vielen Dank
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2 Antworten
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Das kleine Landau Symbol \(\mathcal{o}\) sagt, aus, dass eine Funktion langsamer wächst als eine andere. Für \(f=\mathcal{o(g)}\) bedeutet dies, dass \(f\) langsamer wächst als \(g\). Dies kann man auch mit einem Grenzwert beschreiben. Da \(g\) schneller als \(f\) wächst, wird in dem Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) der Nenner immer größer, sodass er gegen \(0\) konvergiert.
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Das klärt sich direkt mit der Definition, z.B. \(f(x)=o(x^4)\) bedeutet \(\frac{f(x)}{x^4}\to 0\), also in der letzten Zeile z.B. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{o(x^4)}{x^4}=0\).
Z.B. das \(o(x^4)\) am Ende der ersten Zeile kommt vom Taylor-Restglied \(R\), denn \(R\le C\frac{x^6}{6!} =D\,x^6 = o(x^4)\) für \(x\to 0\), denn \(\frac{x^6}{x^4} \to 0\) für \(x\to 0\).
Die Schreibweise kommt z.B. in der Numerik oft vor. Was dabei verwirrend ist, ist die Verletzung des Gleichheitszeichens:
es kann sein, dass \(f_1(x)=o(g(x))\) und \(f_2(x)=o(g(x))\), aber \(f_1(x)\neq f_2(x)\), falls beide \(x\to x_0\) sind. Genauer, das ist sogar meistens so. Genauso übrigens für O(g(x)). Manche schreiben daher auch besser: \(f(x)\in o(g(x))\) und meinen damit, dass es in einer Funktionenklasse ist. Das tun aber nur die wenigsten.
Man sollte immer dabei schreiben, für welchen Grenzwert es gemeint ist.
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aber wiso gibt dann \(\frac{o(x^4)}{x^4}=0\) wenn x->0 würde das nicht 1 geben, da ja beide Funktionen gleich schnell wachsen   ─   karate 06.02.2021 um 14:01

Denk nicht über das "gleiich schnell wachsen", das führt leicht zu Fehlschlüssen. Nimm strikt die Definition. Siehe die ersten beiden Zeilen meiner Antwort oben.
Und es heißt auch nicht "gleich schnell wachsen", sondern "schneller gegen 0 gehen als". Aber wie gesagt, um es wirklich zu verstehen, streng an die Def. halten.
  ─   mikn 06.02.2021 um 14:07

irgendwie komme ich eben bei deiner ersten zeile nicht draus
  ─   karate 06.02.2021 um 14:49

etwas heißt per Def. o(x^4), wenn es geteilt durch x^4 gegen 0 geht. Damit geht nach Def. etwas geteilt durch x^4 gegen 0.   ─   mikn 06.02.2021 um 15:01

ah okei   ─   karate 06.02.2021 um 15:16

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