Einfaches Beispiel zu linearen Splines.

Aufrufe: 56     Aktiv: 30.05.2021 um 19:45

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Hallo, 
ich rätsel gerade vor einem selbsterfundenen Beispiel, und zwar geht es um lineare Splines. Also ich hab mir die Punkte vorgegeben A = \((2 | 2)\), B = \((4 | 3)\) und C = \((6 | 1)\) 
jetzt soll der lineare Spline gegeben sein durch \(\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\) wenn x \(\in\) [ \(x_{i-1}, x_i \) ] bzw. \(\frac{x_{i+1} - x}{x_{i+1} - x_i}\) wenn x \(\in\) [ \(x_{i}, x_{i+1} \) ] und 0 sonst.
Wenn ich jetzt den linearen Spline von Punkt A nach Punkt B will, woher weiß ich dann, welche Vorschrift ich nehmen soll? Also auf nicht anschauliche Art, das die Steigung positiv sein muss und ich dann das erste nehmen muss seh ich auch, ist ja mein Beispiel :D.
Und wenn ich das da einsetze komme ich auf  \(\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\) =  \(\frac{x-x_{1}}{x_2-x_{1}}\) =  \(\frac{x-2}{2}\), was leider nicht stimmt. \(\frac{x+2}{2}\) würde stimmen. Wo ist mein Denkfehler?
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1 Antwort
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Erstmal kannst Du Dir einige Verwirrung ersparen, indem Du die Punkte auch numerierst. A=(x_1,y_1) z.B., A=(x_0,y_0) geht auch. Entsprechend muss der Laufbereich von i angepasst werden. Das sollte man nicht weglassen, wenn man sauber und richtig durchkommen will.
Zum anderen ist Deine Formel für den spline falsch, was Du schon daran siehst, dass die y_i gar nicht drin vorkommen. Das sollte doch zu denken geben, oder?
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ja, an sich schon, ich hab das auch nur im Beitrag ungenau geschrieben. Eigentlich ist der Spline gegeben als die Summe über \(y_i\) * \(L_i(x)\) wobei \(L_i(x)\) die Lagrange Polynome sind, die ich oben angegeben habe. Aber ändert auch nichts an meiner Verwirrung weil es dann immer noch nicht stimmt?   ─   sorcing 30.05.2021 um 16:13

"ungenau" (um Zeit zu sparen? - Dann dauert alles länger) ist der Anfang vom Ende in der Mathematik. Leg Dich auf eine Numerierung fest, nimm die RICHTIGEN Formeln (bei Dir oben sehe ich keine Summe) und alles passt.   ─   mikn 30.05.2021 um 16:31

Leider kann hier offenbar die eigenen Ursprungsbeiträge nicht mehr bearbeiten. Ich werde es jetzt nochmal versuchen präziser zu formulieren hier unten.   ─   sorcing 30.05.2021 um 17:03

Kannst ja hier in den Kommentar schreiben, oder selbst ne Antwort dazu aufmachen (weiß nicht, ob das geht).
Wie gesagt, wenn man stupide in die richtigen Formeln (siehe z.B. wikipedia) einsetzt, kommt alles hin.
  ─   mikn 30.05.2021 um 17:16

Also gegeben Punkte A = (\(x_1 | y_1\)) = (\(2 | 2\)) ; B = (\(x_2 | y_2\)) = (\(4 | 3\)) und C = (\(x_3 | y_3\)) = (\(6 | 1\)). Der Spline s ist gegeben als s = \(\sum_{i = 1}^3 y_i L_i(x)) \), wobei für \(L_i\) gilt:

\(L_i\) = \(\frac{ x - x_{i-1} }{x_i - x_{i-1}}\) falls x \(\in\) [\(x_{i-1}, x_i\)] bzw. \(L_i\) = \(\frac{ x_{i+1} -x }{x_{i+1} - x_i}\) falls x \(\in\) [\(x_{i}, x_{i+1}\)] und \(L_i\) = 0 sonst.

Wenn jetzt i = 1 ist, dann folgt für mich \(y_1L_1(x)\) = \(2L_1(x)\) = \(2\frac{ x_{i+1} -x }{x_{i+1} - x_i}\) (weil i =1 ist und ich ein Intervall [\(x_0, x_1\)] gar nicht habe) = \(2\frac{ 4 -x }{4-2}\) = 4 - x

Für i = 2: \(y_2L_2(x)\) = \(3L_2(x)\) = und da komm ich nicht weiter, weil ich nicht weiß, welche Vorschrift ich nun nehmen soll für \(L_2(x)\), das von vorhin, oder irgendwie beide mal, oder wie genau mach ich das jetzt?
  ─   sorcing 30.05.2021 um 17:30

Es ist, wie gesagt, die Sache mit der Nummerierung. Von deinen Punkten her: i=1 bis 3. Wie du siehst, passen deine Li nicht dazu, weil du kein i angegeben hast. Das fängt an mit i=2. Achte auf die Intervalle. Schau bei Wikipedia z.B., wie man das sauber aufschreibt.   ─   mikn 30.05.2021 um 18:03

Hier https://www.wias-berlin.de/people/john/LEHRE/NUMERIK_I_20/numerik_1_1.pdf
S.18 unten (Bem. 1.41) bis S.19 oben, ist eine saubere Def. in Deiner Schreibweise. Hier wird von 0 bis n interpoliert. Die Ausdrücke entsprechen Deinen L_i. Vielleicht hilft das.
  ─   mikn 30.05.2021 um 19:44

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