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Für (i) wende den Satz von Taylor auf die Funktion \( g(x)=\ln(f(x)) \) an (Taylorpolynom bis zum Grad \(2\) mit Entwicklungsstelle \( x_0=0 \)). Verwende dabei die Voraussetzungen \( f(0)=1 \) und \( f^\prime(0)=0 \).
Für die (ii) betrachte \( \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)^n\right) = n \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right) \) und verwende für \( \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right) \) das Resultat aus (i). Dann lässt sich der Limes relativ leicht ausrechnen.
Bei (iii) kann irgendetwas nicht stimmen. So wie ich das sehe, ist die Aussage falsch. Für \( x=0 \) erhält man aus der Gleichung nämlich den Widerspruch
\( 0 = \lim_{n \to \infty} \cos^n(1) = \lim_{n \to \infty} \cos^n \left( f\left(\frac{0}{\sqrt{n}}\right)\right) = e^{- \frac{1}{2} 0^2} = 1 \)
Da solltest du am besten mal beim Aufgabensteller nachfragen.
Für die (ii) betrachte \( \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)^n\right) = n \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right) \) und verwende für \( \ln\left(f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right) \) das Resultat aus (i). Dann lässt sich der Limes relativ leicht ausrechnen.
Bei (iii) kann irgendetwas nicht stimmen. So wie ich das sehe, ist die Aussage falsch. Für \( x=0 \) erhält man aus der Gleichung nämlich den Widerspruch
\( 0 = \lim_{n \to \infty} \cos^n(1) = \lim_{n \to \infty} \cos^n \left( f\left(\frac{0}{\sqrt{n}}\right)\right) = e^{- \frac{1}{2} 0^2} = 1 \)
Da solltest du am besten mal beim Aufgabensteller nachfragen.
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Student, Punkte: 7.02K
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Wenn du den Aufgabenteil (i) richtig gelöst hast, dann kommt man sofort auf \( \ln \left( f \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right) \right) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right)^2 + g^{\prime \prime \prime}(\xi) \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right)^3 \) für ein \( \xi \) zwischen \( 0 \) und \( \frac{x}{\sqrt{n}} \).
Daraus folgt dann
\( n \ln \left( f \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right) \right) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^2 + g^{\prime \prime \prime}(\xi) \frac{x^3}{\sqrt{n}} \to \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^2 \) für \( n \to \infty \).
(Mit \( g(x)=\ln(f(x)) \)) ─ 42 02.02.2021 um 16:46
Daraus folgt dann
\( n \ln \left( f \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right) \right) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^2 + g^{\prime \prime \prime}(\xi) \frac{x^3}{\sqrt{n}} \to \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^2 \) für \( n \to \infty \).
(Mit \( g(x)=\ln(f(x)) \)) ─ 42 02.02.2021 um 16:46
─ lea.k 02.02.2021 um 16:16