Bogenlänge Herleitung

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 01.06.2021 um 22:49

0

Moin, ich habe diese beiden Aufgaben im mündlichen Abitur bekommen.
Ich habe die Herleitung über den Satz des Pythagoras bis dorthin verstanden wo ich den Ausdruck Wurzel aus 1+(f'x)^2 bekomme. Ich verstehe jedoch nicht warum ich nun die Integral Schreibweise anwenden darf, wobei diese mir eigentlich nur den Flächeninhalt liefert. In dem Sinne berechne ich ja auch die Fläche aber halt nicht von f sondern von Wurzel aus 1+(f'x)^2. Ich verstehe nicht welche Bedeutung diese Funktion hat und warum ich diese Integrieren darf, wobei das Integral ja wie gesagt die Fläche abgibt.
Ich verstehe auch nicht, warum ich "keinen Integranden bilden kann" (Aufgabe 2).
Ich wäre sehr froh über Hilfe, vielen Dank!

PS: Diese Erklärung liefert mir mein Lehrbuch. Ich verstehe sehr genau warum die Steigung y/x zu f' wird, jedoch den Übergang zum Integral finde ich fraglich. Mein verständis endet also bei dem Satz im Lehrbuch: Nach Definition des Integrals geht dann (1) über in...

gefragt

Punkte: 10

 

Kennst du denn die Definition des Integrals, von der hier die Rede ist?   ─   anonym 01.06.2021 um 20:38

Kommentar schreiben

1 Antwort
0
Aufgabe 1:

Der entscheidene Satz für Aufgabe 1, an dem es bei dir hakt ist der Satz "Nach der Definition des Integrals". Diese werdet ihr wohl am Anfang des Themas einmal durchgenommen haben:
Ich hole einmal ein bisschen aus, da ich nicht ganz einschätzen kann wie weit ihr diesbezüglich seit.

Wie du gesagt hast, bietet das Integral im Urspung die Berechnung für einen Flächeninhalt. In der Herleitung dessen finden wir auch die "Definition des Integrals":

Wir nehmen an, wir wollen die Fläche des Graphen von \(f\) im Intervall \([a;b]\) bestimmen. Die sinnvollste Methode wäre dahingehen wohl die Herangehensweise nach dem Riemannschen Integral (wird am häufigsten in Schulen unterrichtet). Diese basiert auf dem Prinzip der Ober -und Untersumme. 
Das sagt dir vielleicht schon etwas.
Wir zerlegen die Fläche unter dem Graphen von \(f\) in \(n\) Rechtecke mit der Höhe \(f(x) = y_n\) und der Breite \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\) (das ist die gleiche Definition wie in deinem Beispiel) 
Die Fläche unter dem Graphen ist nun die Addition von den ganzen Rechtecken:

\(A \approx \Delta x \cdot y_1 + \Delta x \cdot y_2 + ... + \Delta x \cdot y_n\)

Umgeschrieben in Summenform (ich hoffe dir sagt das was), ergibt das:

\(A \approx \sum_{k=1}^{n} \Delta x \cdot y_k\)

Besonders genaue Ergebnisse erhalten wir ja dann, wenn wir die Rechtecke immer schmaler werden lassen, dafür erhöhen wir \(n\) immer weiter, bis ins Unendliche genau genommen:

\(A = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n y_k \cdot \Delta x\) 

Wenn \(n\) nun also gegen unendlich strebt, geschehen mehrere Dinge:

  1. \(\Delta x \to dx\) (Differenz wird zu Differenzial)
  2. \(y_k \to f(x)\) (Allgemeine Schreibweise)
  3. \(\sum_{k=1}^n \to \int_a^b\) (Das Integral Zeichen ist also grob gesagt nur die Summe gegen unendlich)
Also erhalten wir für die Fläche:

\(A = \int_a^bf(x)dx\)

Okay, genug zur Definition, ich hoffe du bist noch nicht ausgestiegen. Jetzt benutzen wir den letzten Schritt bei der Fläche, auch für das Bogenmaß.
Denn wir haben eigentlich das selbe vorliegen:

\(s_n \approx \Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_1}{\Delta x})^2} + \Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_2}{\Delta x})^2} + ... + \Delta x \cdot \sqrt{1+(\frac{\Delta y_n}{\Delta x})^2}\)

Das können wir nämlich auch einfach per Summenformel umschreiben:

\(s_n \approx \sum_{k=1}^n \sqrt{1+(\frac{\Delta y_k}{\Delta x})^2} \cdot \Delta x\)

Jetzt der gleiche Schritt wie eben, am genausten ist es, wenn \(n\) gegen unendlich strebt:

\(s_n = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+(\frac{\Delta y_k}{\Delta x})^2} \cdot \Delta x\)

Es geschehen folgende Schritte:

Wenn \(n\) nun also gegen unendlich strebt, geschehen mehrere Dinge:
  1. \(\Delta x \to dx\) (Differenz wird zu Differenzial)
  2. \(\frac{\Delta y_k}{\Delta x} \to f'(x)\) (Allgemeine Schreibweise)
  3. \(\sum_{k=1}^n \to \int_a^b\) 

Wir erhalten daher abschließend:

\(s_n =\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx \)

Und damit ist die Herrleitung abgeschlossen




Aufgabe 2:

In Aufgabe 2 sollst du nun die Bogenlänge bestimmen. Normalerweise würdest du jetzt alles in die eben bestimmte Formel einsetzten und berechnen:

\(s_n = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx\)

Wobei \(a\) und \(b\) die Nullstellen der Funktion sind.
Du wirst jedoch Probleme haben das Integral zu lösen:

\(s_n = \int_a^b \sqrt{1+(-2x)^2} dx = \int_a^b  \sqrt{1+4x^2} dx\)

Ich kann dir aus Erfahrung sagen, dass Integral ist nicht leicht zu lösen und da du sagst, dass es im Abitur drankam, wirst du es mit Schulwissen wohl kaum lösen können. Genau das sagt auch die Aufgabe mit dem Satz "keinen Integranden bilden". Denn der Integrand wäre das Integral von obigen Term, denn du nunmal noch nicht bestimmen kannst.

Daher sollst du die Funktion also nur annähernd bestimmen, dafür nimmst du am besten die Gleichung:

\(s_n \approx \sum_{k=1}^n \sqrt{1+(\frac{\Delta y_k}{\Delta x})^2} \cdot \Delta x\)

Jetzt wählst du nur noch einen Wert \(n\), der dir zu spricht (Achtung, umso höher \(n\), desto mehr Rechenaufwand wirst du haben) und bestimmst dann die einzenlden Summanden und somit zum Schluss \(s_n\).





Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen, bei weiteren Fragen, sag Bescheid.
Grüße Cedric

Diese Antwort melden
geantwortet

Schüler, Punkte: 266
 

Kommentar schreiben