Als erstes hast du falsch eingesetzt. Es ist $f(x)=x^n$ bzw. $f(x_0)=x_0^n$. Der Limes hat dort auch nichts zu suchen. Wenn du es unbedingt über die $\varepsilon$-$\delta$-Definition beweisen möchtest, dann fängst du wie folgt an:
\[|f(x)-f(x_0)|=|x^n-x_0^n|=\ldots<\varepsilon\]
Als Tipp verwende $a^n-b^n=(a-b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}b^k$. Dann kannst die $|x-x_0|<\delta$ abschätzen und die Summe geeignet gegen eine Konstante. Dann wählst du dir dein $\delta$ in Abhängigkeit von $\varepsilon$ passend, so dass es aufgeht.

Das Beispiel ist aber eine gute Möglichkeit das du es über verschiedene Wege beweisen kannst. Gehe auch den anderen Hinweisen die dir gegeben wurden nach und versuche es auf verschiedene Art und Weise zu zeigen, dann lernst du auf jedenfall einiges und verstehst das mit der Stetigkeit besser.

Moin,
Am einfachsten ist es, per Induktion zu zeigen, dass \(x^n\) stetig ist. Der Fall für n=1 ist trivial. Dann musst du nur noch verwenden (wie von mathejean angedeutet), dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist. Dann brauchst du für den n+1ten Fall kein \(\epsilon\)-\(\delta\) mehr zu verwenden.