Stetigkeit

Aufrufe: 200     Aktiv: 16.04.2022 um 13:09

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Hallo!

Diesmal geht es um die Stetigkeit von Funktionen. Ich habe zwar einen Ansatz formuliert, aber der hilft mir auch nicht weiter. Wir haben solche Aufgaben in der VO nicht wirklich behandelt, daher würde ich mich freuen, wenn jemand mit mir schrittweise die Aufgabe durchgehen kann.
Ich habe unten die originale Aufgabenstellung und meinen Ansatz hochgeladen.

EDIT vom 15.04.2022 um 10:39:

ich weiß echt nicht, ob die rechnung so stimmt oder ob ich voll daneben bin.

EDIT vom 16.04.2022 um 11:57:

Die Rechnung sieht zwar noch nicht perfekt aus, bin noch am üben. 

 

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Dein „Ansatz“ ist doch lediglich die Definition von Stetigkeit die du verwenden sollst. Setze doch $f(x)=x^n$ wenigstens einmal in die Definition ein und versuche so umzustellen um $|x-x_0|$ im Term zu erzeugen und dies nach $\delta$ abzuschätzen.   ─   maqu 14.04.2022 um 20:09

In der Vorlesung werden auch keine Übungen gemacht. Dafür dienen die Übungen ja, um den Stoff der Vorlesung zu verinnerlichen bzw. sich damit zu beschäftigen.   ─   cauchy 14.04.2022 um 20:37

Sinnvoll ist es hier vor allem mit der Folgendefinition der Stetigkeit zu arbeiten und nicht mit der \(\epsilon\)- \(\delta\)-Definition.   ─   fix 14.04.2022 um 21:26

Die Folgendefinition ist häufig sinnvoller. Mit der Verallgemeinerung der dritten binomischen Formel ist es aber auch mit der $\varepsilon$-$\delta$-Definition recht einfach zu zeigen.   ─   maqu 14.04.2022 um 22:06

Am einfachsten: Produkt stetiger Funktionen ist stetig   ─   mathejean 15.04.2022 um 10:30

Habe oben die Aufgabe vervollständigt. Muss ich was ausbessern?   ─   anonym 15.04.2022 um 10:40

Du hast falsch eingesetzt, x und x_0 bleiben du musst f ersetzen. Was macht der Limes da? Also eigentlich alles nicht richtig   ─   mathejean 15.04.2022 um 10:41
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Als erstes hast du falsch eingesetzt. Es ist $f(x)=x^n$ bzw. $f(x_0)=x_0^n$. Der Limes hat dort auch nichts zu suchen. Wenn du es unbedingt über die $\varepsilon$-$\delta$-Definition beweisen möchtest, dann fängst du wie folgt an:
\[|f(x)-f(x_0)|=|x^n-x_0^n|=\ldots<\varepsilon\]
Als Tipp verwende $a^n-b^n=(a-b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1}b^k$. Dann kannst die $|x-x_0|<\delta$ abschätzen und die Summe geeignet gegen eine Konstante. Dann wählst du dir dein $\delta$ in Abhängigkeit von $\varepsilon$ passend, so dass es aufgeht.

Das Beispiel ist aber eine gute Möglichkeit das du es über verschiedene Wege beweisen kannst. Gehe auch den anderen Hinweisen die dir gegeben wurden nach und versuche es auf verschiedene Art und Weise zu zeigen, dann lernst du auf jedenfall einiges und verstehst das mit der Stetigkeit besser.
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Danke für die Erklärung Maqu!
Ich lade mal meine aktuelle Lösung hoch. Ich bin noch am probieren.
Aber so würde ich mal vorgehen. Passt das halbwegs ?
  ─   anonym 16.04.2022 um 11:56

@anonym nicht die dritte binomische Formel anwenden sondern die Verallgemeinerung dieser (Siehe Tipp). Also schon der erste Schritt wo du mit $(x^n+x_0^n)$ erweiterst ist nicht zielführend. Wende doch bitte die Formel an die ich dir als Tipp gegeben habe. Ersetze $a$ mit $x$ und $b$ mit $x_0$. Dann erhältst du
\[|x^n-x_0^n|=\ldots\]
  ─   maqu 16.04.2022 um 13:09

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Moin,
Am einfachsten ist es, per Induktion zu zeigen, dass \(x^n\) stetig ist. Der Fall für n=1 ist trivial. Dann musst du nur noch verwenden (wie von mathejean angedeutet), dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist. Dann brauchst du für den n+1ten Fall kein \(\epsilon\)-\(\delta\) mehr zu verwenden.
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