Was macht man beim lim von rechts gegen 0

Aufrufe: 112     Aktiv: 03.06.2024 um 22:49

0
Ich muss bei einer Aufgabe den Graphen x*ln(2x) untersuchen und die Extremstellen herausfinden und beurteilen ob diese global oder lokal sind, mit Begründung. Die Extremstelle habe ich heruasgefunden und heruasgefunden, dass es ein Minimum ist. Ich verzweifle an der Begründung, ist sie lokal oder global, in der Vorlesung haben wir dafür den Limes genutzt und haben geschaut, was dieser macht wen x von rechts gegen 0 geht. Ich verstehe auch was der Graph macht aber ich verstehe die Rechnung nicht. 
Wenn man den lim gegen unendlich laufen lässt, setzt man salop gesagt für x unendlich ein, das gleiche ja auch, wenn x einen Grenzwert wie 0 annimmt. Was macht man jetzt aber, wenn man wissen will was der Graph macht wenn man von einer bestimmten seite gegen den Grenzwert strebt?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 21

 
Kommentar schreiben
3 Antworten
1
Um die Funktion f(x)=x*ln(2x) auf Extremstellen zu untersuchen und beurteilen, ob diese global oder lokal sind, hast du auf jeden Fall schon mal den richtigen Ansatz gewählt. Du hast als erstes die Extremstellen berechnet und hast ein Minimum herausgefunden, was ich bei meiner Berechnung auch erhalten habe. Nun musst du beurteilen, ob diese Minimalstelle global oder lokal ist, wofür wir uns das Verhalten der Funktion an Ränder des Definitionsbereiches anschauen. Da es sich hierbei um eine ln-Funktion handelt, müssen wir uns den limes x gegen unendlich und x gegen 0 anschauen. Warum nicht x gegen -unendlich? Ganz einfach, weil ln(x) nur für x>0 definiert ist. 
Für limes x gegen 0, strebt f(x) gegen 0 
Für limes x gegen unendlich, strebt f(x) logischerweise gegen unendlich 

Die Minmalstelle liegt bei x= 1/2e und f(1/2e)= -0,18 (ungefähr) 

Da -0,18<0 ist, handelt es sich um ein globales Minimum 

Ich hoffe, dass diese Rechnung verständlich war.
Bei Fragen gerne melden!
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 15

 

Ja das war sehr hilfreich. Nochmal zusammengefasst: um zu beurteilen ob ein Minimum global ist bestimmt man also als erstes den linken Grenzwert und schaut danach ob der y- Wert der errechneten Minimalstelle kleiner dieses Grenzwertes ist richtig?
  ─   k.f07 02.06.2024 um 23:30

Kommentar schreiben

0

Zuallererst stellt man den Defbereich fest - hast Du das gemacht?

Weiterhin: Wenn man nur ein Extremum findet, dann ist f links und rechts davon monoton, also ist das Extremum schon deswegen global.
Zum Grenzwert: Das Einsetzen von 0 (oder unendlich) führt nicht selten zu falschen Ergebnissen. Man kann mal kleine (oder große) Zahlen einsetzen (Defbereich und Richtung des Grenzwerts beachten!), um eine Vermutung für den Grenzwert zu finden. Kann auch schief gehen. Nachweis geht nur über die Grenzwertsätze.
Grenzwert für x->0+ könnte man auf diesem Weg angehen. Wie gesagt, ist hier nicht nötig.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Was meinst du mit links und rechts davon monoton?   ─   szymansk 02.06.2024 um 19:37

Achso ja der Def.bereich ist x e R; x>0. Das war durch das Intervall in der Aufgabe bereits gegeben mit (0, unendlich) und hat keine Probleme gemacht und deswegen war nicht meine Frage. Deshalb habe ich es nicht mit hingeschrieben aber hätte zum Verständnis auf jeden Fall dazu gehört   ─   k.f07 02.06.2024 um 23:33

Wenn im Defbereich nur positive x sind, dann kann jeder lim mit x->0 nur einer mit x->0+ sein, darum ging es und das war ja Deine Frage.   ─   mikn 02.06.2024 um 23:45

@mikn Deine Aussage "Wenn man nur ein Extremum findet, dann ist f links und rechts davon monoton" (und auch die Schlussfolgerung "also ist das Extremum schon deswegen global") ist für beliebige Funktionen $f\colon D\to\mathbb{R}$ mit $D\subseteq\mathbb{R}$ i.A. völlig falsch. Man kann sie aber mit etwas Aufwand z.B. für den (hier vorliegenden) Fall $f$ stetig und $D$ ein Intervall zeigen. (Ob der Aufgabensteller einen Beweis dieser Aussage verlangt, wenn man sie benutzen möchte, liegt natürlich an ihm.)   ─   tobit 03.06.2024 um 05:14

Kommentar schreiben

0
Zum Extremum wurde alles gesagt denke ich. Bezüglich des Grenzwertes $\underset{x\longrightarrow 0+}{\lim} x\cdot \ln(2x)$, man kann sicherlich versuchen die Null oder Unendlich einzusetzen um eine Ahnung davon zu bekommen wie sich der Grenzwert verhält. Nur bereiten einem solche Ausdrücke wie $0\cdot \infty$ Kopfschmerzen. Man kann den Funktionsterm umformen, so dass man stattdessen Ausdrücke wie $\dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{\infty}$ erhält. Dann kann man L'Hospital verwenden, sofern dies bekannt sein sollte. Versuche doch einmal dein Produkt in einen Quotienten umzuschreiben, auf was kommst du?
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

Wird der lim (x->0+) ln(2x) nicht auch 0? Weil wenn ich für x immer kleinere Werte einsetze wird kommen doch immer kleinere Werte raus oder?   ─   k.f07 02.06.2024 um 23:37

1
Hast Du denn mal kleine x-Werte eingesetzt? Vieles kann man bei Mathe-Aufgaben einfach mit dem TR mal ausprobieren.   ─   mikn 02.06.2024 um 23:47

Oder man skizziert bzw. plottet sich den Graphen von $\ln(2x)$ einmal. Dann sollte sich die Frage nach $\underset{x\longrightarrow 0+}{\lim} \ln(2x)$ erübrigt haben.   ─   maqu 03.06.2024 um 00:12

Nur leider darf der TR nicht genutzt werden, was es auch schwierig macht 1/2e auszurechnen und als Dezimalzahl darzustellen   ─   k.f07 03.06.2024 um 22:32

Wer sagt denn, dass Du 1/(2e) als Dezimalzahl darstellen sollst? Extremstelle ist 1/(2e) fertig. Auch nach dem Funktionswert an der Stelle ist nicht gefragt. Und ausrechnen geht immer, auch ohne TR, wenn man die "kleinen Zahlen" passend wählt.   ─   mikn 03.06.2024 um 22:49

Kommentar schreiben