Um die Funktion f(x)=x*ln(2x) auf Extremstellen zu untersuchen und beurteilen, ob diese global oder lokal sind, hast du auf jeden Fall schon mal den richtigen Ansatz gewählt. Du hast als erstes die Extremstellen berechnet und hast ein Minimum herausgefunden, was ich bei meiner Berechnung auch erhalten habe. Nun musst du beurteilen, ob diese Minimalstelle global oder lokal ist, wofür wir uns das Verhalten der Funktion an Ränder des Definitionsbereiches anschauen. Da es sich hierbei um eine ln-Funktion handelt, müssen wir uns den limes x gegen unendlich und x gegen 0 anschauen. Warum nicht x gegen -unendlich? Ganz einfach, weil ln(x) nur für x>0 definiert ist. 
Für limes x gegen 0, strebt f(x) gegen 0 
Für limes x gegen unendlich, strebt f(x) logischerweise gegen unendlich 

Die Minmalstelle liegt bei x= 1/2e und f(1/2e)= -0,18 (ungefähr) 

Da -0,18<0 ist, handelt es sich um ein globales Minimum 

Ich hoffe, dass diese Rechnung verständlich war.
Bei Fragen gerne melden!

Zuallererst stellt man den Defbereich fest - hast Du das gemacht?

Weiterhin: Wenn man nur ein Extremum findet, dann ist f links und rechts davon monoton, also ist das Extremum schon deswegen global.
Zum Grenzwert: Das Einsetzen von 0 (oder unendlich) führt nicht selten zu falschen Ergebnissen. Man kann mal kleine (oder große) Zahlen einsetzen (Defbereich und Richtung des Grenzwerts beachten!), um eine Vermutung für den Grenzwert zu finden. Kann auch schief gehen. Nachweis geht nur über die Grenzwertsätze.
Grenzwert für x->0+ könnte man auf diesem Weg angehen. Wie gesagt, ist hier nicht nötig.

Zum Extremum wurde alles gesagt denke ich. Bezüglich des Grenzwertes $\underset{x\longrightarrow 0+}{\lim} x\cdot \ln(2x)$, man kann sicherlich versuchen die Null oder Unendlich einzusetzen um eine Ahnung davon zu bekommen wie sich der Grenzwert verhält. Nur bereiten einem solche Ausdrücke wie $0\cdot \infty$ Kopfschmerzen. Man kann den Funktionsterm umformen, so dass man stattdessen Ausdrücke wie $\dfrac{0}{0}$ oder $\dfrac{\infty}{\infty}$ erhält. Dann kann man L'Hospital verwenden, sofern dies bekannt sein sollte. Versuche doch einmal dein Produkt in einen Quotienten umzuschreiben, auf was kommst du?