Die universelle Eigenschaft

Aufrufe: 133     Aktiv: 04.12.2021 um 23:21

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Hallo,
X ist definiert von \(\mathbb{N_0} \to R\) mit X(i)= 1, falls i = 1 und 0 falls i ≠ 1. 
Meine Fragen dazu ist erstmal das Gleichheitszeichen im Beweis, markiert mit einem "?". Warum gilt \(\varphi'(a_i) = \omega(a_i)\)? Wahrscheinlich wird die Antwort sein, weil \(\varphi'\) den Homomorphismus \(\omega\) fortsetzt. Aber dann ist meine Frage wie ich das richtig zu verstehen habe, da \(\varphi\) ja von R[X] nach R' geht, während \(\omega\) von R nach R' geht. \(\varphi_{|R} = \omega \) macht ja so irgendwie keinen Sinn, da die Definitionsmenge von \(\varphi\) ja R[X] ist, und nicht R. 
Wozu braucht man die Bedingung \(\omega(1) = 1' \)? Ist doch ein Doppelgemoppel und bei einem Homomorphismus eh der Fall?
Und was mich noch interessieren würde ist, warum das die universelle Eigenschaft heißt. Irgendwoher muss der Name ja kommen, was ist daran universell (vielleicht hilft die Antwort ja im Verständnis dieses Themas :P) ?
Danke schonmal für jede Hilfe.
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Dein "$\stackrel{\text{?}}{=}$" erfüllt einfach nur die Definition einer Fortsetzung $\varphi'$ von $\omega$. Betrachte die Definition "$(*)$", dort ist die Fortsetzung $\varphi$ von $\omega$ definiert als $$\varphi\left(\sum a_i X^i\right) = \sum \omega(a_i)v^i$$

Aber für $\varphi$ gilt per Definition $\varphi(a_iX_i) = \varphi(a_i)\varphi(X_i) = \omega(a_i)v^i$, somit ist 

$$\varphi\left(\sum a_i X^i\right) = \sum\varphi(a_i)\varphi(X^i) = \sum\omega(a_i)v^i$$

Um das zu verstehen, mach dir klar, was eine Fortsetzung ist. Du hast $\omega = \varphi{|_R}$, also die Komposition $$\omega\colon R\xrightarrow{\iota} R[X]\xrightarrow{\varphi} R'$$ wobei $\iota$ die kanonische Inklusion $R\subset R[X]$ beschreibt. Und somit gilt für $\omega = \varphi{|_R}\colon R\to R'$ ganz einfach mit $a_i\in R$, dass $$\omega(a_i) = \varphi{|_R}(a_i) = \varphi(a_i).$$

Ist jetzt $\varphi'$ eine weitere solche Fortsetzung, so stimmen $\varphi'$ und $\varphi$ auf ganz $R$  (also auf allen Koeffizienten) überein und liefern somit dieselbe Fortsetzung von $\omega$.

Ich hab nicht wirklich verstanden, was dich an $\omega(1) = 1'$ stört. Du schreibst selbst, dass jeder Homomorphismus das erfüllt. $1'$ ist eben dein $1$-Element in $R'$. Viel mehr heißt das nicht.

Universelle Eigenschaften werden so bezeichnet, da sie sich in der Kategorientheorie als einheitliches Mittel erweisen, ausgewählte Objekte einer Kategorie (in gewisser Weise) universell zu charakterisieren, in dem sie diese Objekte durch "universelle Morphismen" charakterisieren. Die universelle Eigenschaft eines Objekts hilft, dieses in eindeutiger Weise so zu charakterisieren, dass man sich nicht jedes mal mit der expliziten Konstruktion dieser Objekte beschäftigen muss. Ich will nicht zu viele kategorientheoretische Begriffe einwerfen, aber universelle Eigenschaften beschreiben in der Regel sogenannte initiale bzw. terminale Objekte einer gegebenen Kategorie (hier: kommutative Ringe mit $1$). Sie beschreiben, unter welchen Voraussetzungen ein eindeutiger Morphismus entweder aus diesem Objekt heraus oder in dieses Objekt hinein existiert.

Vgl hierzu: https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorientheorie

Ein Paradebeispiel einer universellen Eigenschaft ist der Homomorphiesatz in der Gruppentheorie. Sobald die Existenz mittels der expliziten Konstruktion der induzierten Abbildung $\overline f$ aus der Quotientengruppe heraus einmal nachgewiesen wurde, muss man sich (im Grunde genommen) nie wieder Gedanken über den expliziten Nachweis dieser induzierten Abbildung $\overline f$ machen, sondern beruft sich (häufig implizit) auf die universelle Eigenschaft, die die Wohldefiniertheit (also auch die Eindeutigkeit) dieser induzierten Abbildung sicherstellt. Man verweist bei Beweisen zu Isomorphismen (wenn man den ersten Isomorphiesatz nutzen möchte z.B.) häufig einfach auf universelle Eigenschaft mit einem Kommentar wie z.B. "folgt aus dem ersten Isomorphiesatz", aber man definiert die zugrundeliegende Abbildung nicht jedes mal aufs neue auf den Nebenklassen. Man weiß eben, dass jeder surjektive Homomorphismus $f\colon G\to H$ über den Quotienten $G/N$ bzgl. eines Normalteilers $N$ einen Isomorphismus $\overline{f}G/N\xrightarrow{\sim} H$ induziert, solange $N< \ker f$.

Eine weitere extrem nützliche Anwendung einer universellen Eigenschaft liefert das Tensorprodukt zweier (bzw. endlich vieler) $R$-Moduln (bspw. Vektorräume über Körpern).

Die explizite Konstruktion des Tensorprodukts $V\otimes W$ gesaltet sich als ziemlich mühsam (wenn man es jedes mal aufs neue tun müsste) . Durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts allerdings genügt es, eine bilineare Abbildung $\Phi\colon V\times W\to Y$ zu definieren (was sehr einfach ist) und man erhält sofort eine wohldefinierte und eindeutige Abbildung die über das Tensorprodukt faktorisiert (was per Hand nicht ganz so einfach wäre), d.h. eine Abbildung $$\overline{\Phi}\colon V\otimes W\to Y$$
ohne sich Gedanken darüber machen zu müssen, wo die Erzeuger (d.h. die reinen Tensoren $v\otimes w$ landen und ohne die Wohldefiniertheit jedes mal nachweisen zu müssen).

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Danke für die sehr ausführliche Antwort, hat mir sehr viel gebracht. Der auf Wikipedia erwähnte Begriff des "allgemeinen Unsinn" passt gut :-D   ─   h1tm4n 04.12.2021 um 17:44

Ja, "Abstract nonsense" werden gelegentlich Beweise genannt, die rein kategorientheoretischer Natur sind. Es ist bisschen irritierend wenn man das das erste mal hört, denn mit abstract nonsense ist kein "Unsinn" im herkömmlichen Sinne gemeint. Also der Begriff ist nicht negativ konnotiert.   ─   zest 04.12.2021 um 23:21

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