Hallo,
X ist definiert von \(\mathbb{N_0} \to R\) mit X(i)= 1, falls i = 1 und 0 falls i ≠ 1. 
Meine Fragen dazu ist erstmal das Gleichheitszeichen im Beweis, markiert mit einem "?". Warum gilt \(\varphi'(a_i) = \omega(a_i)\)? Wahrscheinlich wird die Antwort sein, weil \(\varphi'\) den Homomorphismus \(\omega\) fortsetzt. Aber dann ist meine Frage wie ich das richtig zu verstehen habe, da \(\varphi\) ja von R[X] nach R' geht, während \(\omega\) von R nach R' geht. \(\varphi_{|R} = \omega \) macht ja so irgendwie keinen Sinn, da die Definitionsmenge von \(\varphi\) ja R[X] ist, und nicht R. 
Wozu braucht man die Bedingung \(\omega(1) = 1' \)? Ist doch ein Doppelgemoppel und bei einem Homomorphismus eh der Fall?
Und was mich noch interessieren würde ist, warum das die universelle Eigenschaft heißt. Irgendwoher muss der Name ja kommen, was ist daran universell (vielleicht hilft die Antwort ja im Verständnis dieses Themas :P) ?
Danke schonmal für jede Hilfe.