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Der Einfachheit halber: \(D:=f_{xx}(P)f_{yy}(P)-(f_{xy}(P))^2\). D ist dann in Deiner Ungleichung linke Seite minus rechte.
Annahme vorweg: \(f\) zweimal stetig diffbar, und \(\nabla f(P)=0\), d.h. \(P\) ist stationärer Punkt (d.h. Nullstelle der ersten Ableitung).
Dann gilt:
\(D>0\) (also Deine Ungl. erfüllt) und \(f_{xx}(P)>0\Longrightarrow\) HP in \(P\).
\(D>0\) (also Deine Ungl. erfüllt) und \(f_{xx}(P)<0\Longrightarrow\) TP in \(P\).
\(D<0 \Longrightarrow\) kein Extremum in \(P\), aber ein Sattelpunkt.
In allen anderen Fällen kann alles mögliche passieren.
Und das ganze gilt nur im R^2.
Annahme vorweg: \(f\) zweimal stetig diffbar, und \(\nabla f(P)=0\), d.h. \(P\) ist stationärer Punkt (d.h. Nullstelle der ersten Ableitung).
Dann gilt:
\(D>0\) (also Deine Ungl. erfüllt) und \(f_{xx}(P)>0\Longrightarrow\) HP in \(P\).
\(D>0\) (also Deine Ungl. erfüllt) und \(f_{xx}(P)<0\Longrightarrow\) TP in \(P\).
\(D<0 \Longrightarrow\) kein Extremum in \(P\), aber ein Sattelpunkt.
In allen anderen Fällen kann alles mögliche passieren.
Und das ganze gilt nur im R^2.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
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Das hilft mir leider nicht weiter. Wir haben alles ohne Hessematrix gelernt. Es verwirrt mich leider sogar eher als es hilft.
─
brammberger
11.07.2021 um 11:37
Ich habe mir jetzt folgende schriftliche Erklärung überlegt:
1) Ich schaue , ob fxx(xwert, ywert) * fyy(xwert,ywert)) größer oder kleiner fxy(xwert,ywert ) quadriert ist
2a) kleiner heisst: nur noch Sattelpunkt möglich. Dann müssen fxx(xwert, ywert) und fyy(xwert,ywert) entgegengesetzt verlaufen. Die eine Funktion ist also größer gleich Null und die andere kleiner gleich Null. Beide gleich Null ist nicht entgegensetzt, also weder EP noch SP.
2b) größer heisst: EP möglich. Ob HP oder TP hängt davon ab, ob beide jeweils gleichzeitig größer oder kleiner Null sind. Verlaufen sie entgegensetzt, habe ich weder einen EP noch einen SP ─ brammberger 11.07.2021 um 12:12
1) Ich schaue , ob fxx(xwert, ywert) * fyy(xwert,ywert)) größer oder kleiner fxy(xwert,ywert ) quadriert ist
2a) kleiner heisst: nur noch Sattelpunkt möglich. Dann müssen fxx(xwert, ywert) und fyy(xwert,ywert) entgegengesetzt verlaufen. Die eine Funktion ist also größer gleich Null und die andere kleiner gleich Null. Beide gleich Null ist nicht entgegensetzt, also weder EP noch SP.
2b) größer heisst: EP möglich. Ob HP oder TP hängt davon ab, ob beide jeweils gleichzeitig größer oder kleiner Null sind. Verlaufen sie entgegensetzt, habe ich weder einen EP noch einen SP ─ brammberger 11.07.2021 um 12:12
Das macht Sinn. Vielen Dank für die Hilfe!
─
brammberger
11.07.2021 um 13:08
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.