Konvergenz / Divergenz einer Reihe

Aufrufe: 133     Aktiv: 07.12.2021 um 15:02

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Untersuchen Sie (absolute) Konvergenz / Divergenz der Reihe:

\(  \sum_{n=0}^{ \propto } (-1)^{n}    \cdot {n}^{bn}    \cdot  \frac{n!}{(an)!}   \forall a, b  \in  \mathbb{N}  \)


Ich habe zunächst die Nullfolgeneigenschaft beweisen wollen, wobei dies nach meinen Ergebnissen nur für ein a ungleich 1 der Fall ist. Für diesen Fall habe ich dann versucht, mit dem Leibniz-Kriterium weiterzumachen, woran ich gescheitert bin. Mein letzter Stand ist dabei:

\(  {(1+ \frac{1}{n} )}^{bn}  \cdot  {(n+1)}^{b}  \leq  \frac{(an+a)!}{(an)!}  \)

Dabei kann es durchaus sein, dass mein Ansatz schon falsch ist. Ich freue mich über jede Hilfe :)

Hier noch meine Rechnung, die leider nicht sehr ordentlich ist... :(

EDIT vom 06.12.2021 um 00:58:

Hier also mein neuer Ansatz mit dem Quotientenkriterium, wo ich aber auch nicht weiterkomme.


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Hallo

Also ich würde versuchen die absolute Konvergenz zu zeigen, denn wenn eine Reihe absolut konvergiert, so konvergiert sie auch unbedingt (also "normal" ohne Betragsstriche). Für die Absolute Konvergenz hätte ich das Quotientenkriterium verwendet, das scheint mir da ziemlich nützlich zu sein. Denkst du du schaffst es so?
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Student, Punkte: 1.45K

 

Also mit dem Ansatz \( \lvert \frac{ {a}_{n+1} }{ {a}_{n} } \rvert \) bin ich jetzt bis \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^(bn+b+1) \cdot (an)! }{n^(bn) \cdot (an+a)! } \) gekommen, allerdings nicht weiter. :( (Mein Rechenweg habe ich jetzt oben auch nochmal hochgeladen)   ─   julius-s 06.12.2021 um 00:52

Ja genau soweit stimmt alles. so nun siehst du das du bei $(n+1)^{bn+b+1}$ und $n^{bn}$ einen ähnlichen Exponenten hast, genauer gesagt $$\frac{(n+1)^{bn+b+1}}{n^{bn}}=\frac{(n+1)^{bn}}{n^{bn}}\cdot (n+1)^{b+1}$$ nun kannst du das irgendwie vereinfachen, so dass du dann eine sehr bekannte Folge erhältst von der du den Limes direkt kennst?   ─   karate 06.12.2021 um 07:34

Jetzt habe ich \( \frac{(an)!}{(an+a)!} \cdot ( {1+ \frac{1}{n} })^{bn} \cdot ({n+1})^{b+1} \), wobei der zweite Faktor gegen 1 und der dritte Faktor gegen unendlich geht. Was mache ich jetzt aber mit dem ersten Faktor? Ich würde sagen der geht gegen 0 (somit das Ganze gegen 0, also absolute Konvergenz, da 0 kleiner 1), aber kann ich das einfach so hinschreiben oder muss ich den ersten Faktor noch weiter umformen?   ─   julius-s 06.12.2021 um 12:43

Stimmt das so, was ich in meinem letzten Kommentar geschrieben habe? Wenn ja, hätte ich ja fast alle Umformungen gar nicht gebraucht und schon aufhören können, als ich den Bruch hatte, der im letzten Kommentar vorne steht, oder? Der geht ja gegen 0 und somit ist der Rest egal   ─   julius-s 07.12.2021 um 15:02

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