Konstanten bestimmen (Funktion)

Aufrufe: 1054     Aktiv: 07.09.2019 um 19:37
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Hallo,

 

leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter und habe nicht einmal einen Ansatz wie ich solche Aufgaben lösen muss. Welche Vokabeln benötigt man, um die Konstanten T und Q zu bestimmen.

Gegeben ist:

f(0)=2

f(1)=4

 

 

-----------------------------------------------------------

Edit

T habe ich mit deiner Hilfe wie folgt ermittelt:

                

                  

                

 

Bei Q habe ich es auch Versucht. Nur glaube ich nicht das es richtig ist.

 

              

 

                     

 

Wäre das richtig? Falls ja weiß ich nun nicht weiter.

 

 

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Die Rechnung für T ist richtig, jedenfalls fast. In der dritten Zeile schreibt Du, Du willst auf beiden Seiten \(-2\) rechnen. Da meinst Du wahrscheinlich \(-2T\). Das Ergebnis wäre dann \(-T=2\). Das multiplizierst Du auf beiden Seiten mit \(-1\) und bekommst dann das von Dir angegebene Ergebnis.

Dass Dein Ergebnis für Q nicht stimmen kann, siehst Du selbst, oder? Bei der Aufgabe habe ich anfangs einen ähnlichen Fehler gemacht. Du musst mit der Gruppierung aufpassen. Am besten, Du arbeitest soweit wie möglich explizit mit Klammern. Dann kannst Du jedenfalls keine Fehler mehr machen, die durch falsche Gruppierung entstehen. Dein Ansatz würde dann so aussehen:

\begin{array}{rcll}
\frac{{\displaystyle T\cdot\mathrm{e}^{Q}}}{{\displaystyle 1+\left(T\cdot\mathrm{e}^{Q}\right)}} & = & 4 & |-2\:\textrm{für}\: T\:\textrm{einsetzen}\\
\frac{{\displaystyle -2\cdot\mathrm{e}^{Q}}}{{\displaystyle 1+\left(-2\cdot\mathrm{e}^{Q}\right)}} & = & 4 & |\cdot\left(1+\left(-2\cdot\mathrm{e}^{Q}\right)\right)\\
{\displaystyle -2\cdot\mathrm{e}^{Q}} & = & 4\cdot\left(1+\left(-2\cdot\mathrm{e}^{Q}\right)\right) & |\textrm{Klammer umstellen}\\
{\displaystyle -2\cdot\mathrm{e}^{Q}} & = & 4\cdot\left(-2\mathrm{e}^{Q}+1\right)
\end{array}

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 07.09.2019 um 11:57
\(-4=-8{ e }^{ Q }+2{ e }^{ Q }
\)
\(-4=-6{ e }^{ Q }/:(-6)\)
\(\frac{ 2 }{ 3 }={ e }^{ Q }\)

Das Ergebnis ist \(ln(\frac{2 }{ 3 }) =-0,405\) Wieso steht for dem Ergebnis ln?   ─   irukandji 07.09.2019 um 13:15
Weil Q der Exponent von e ist. ich nehme jetzt mal ein ganz anderes Beispiel:

\begin{eqnarray}
2^{3} & = & 8\\
\sqrt[3]{8} & = & 2\\
\log_{2}8 & = & 3
\end{eqnarray}

Du hast \(\frac{2}{3}={\textrm{e} }^{Q}\). Q ist dann \(\log_{\textrm{e}} \left(\frac{2}{3}\right)\). \(\textrm{e}\) ist die eulersche Zahl. [1] Der Logarithmus zur Basis \(\textrm{e}\) müsste eigentlich so geschrieben werden: \(\log_{\textrm{e}}\). Das kannst Du auch machen. Es ist aber unüblich. Es gibt speziell dafür die Abkürzung\(\ln\). Das steht für »natürlicher Logarithmus«. Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis\(\textrm{e}\).

Viele Grüße
jake2042

[1]
Siehe zum Beispiel hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl   ─   jake2042 07.09.2019 um 13:37
Errata

Abkürzungln
Abkürzung \(\ln\)

Logarithmus zur Basise
Logarithmus zur Basis \(\textrm{e}\)
   ─   jake2042 07.09.2019 um 13:46
Sorry aber ich komme hier echt nicht weiter. Ich sitze schon wieder gefühlt 2h vor der nächsten Aufgabe und bin am Ende. Leider muss ich mir alles alleine aneignen und bin daher auf eure Hilfe angewisen. Lösungswege oder deartiges besitze ich nicht. Lediglich die Lösung steht mir zur Verfügung.

Nun zu meiner Frage. Die Aufgabe hat zwei weitere Teilaufgaben.

1) berechne den Funktionswert an der Stelle 2
2) für welches x hat die Funktion den Funktionswert 3

Eigentlich dachte ich, dass in der Aufgabe 1 nur die 3 für x eingesetzt werden muss und die anderen Variablen durch die zuvor ermittelten Ergebnisse ersetzt werdeb . Nur leider ist die Lösung falsch.

Alles bezogen auf die Ausgangsgleichung siehe oben   ─   irukandji 07.09.2019 um 14:55
1) An der Stelle 2, nicht 3. \(x=2 \Rightarrow f(2) = \dfrac{2^{2+ 1}}{2^{2 + 1} - 3^2} = -8\)

2) Du setzt \(f(x)=3 \Leftrightarrow \dfrac{2^{x+ 1}}{2^{x + 1} - 3^x} =3\) und löst dann nach x auf.   ─   maccheroni_konstante 07.09.2019 um 15:00

Wie kommst du bei erstens auf die Lösung?Ich habe das so aufgeschrieben.

\(f(x)=\frac{ -2*{ e }^{ ln(2/3)*2 } }{ 1+(-2)*{ e }^{ln(2/3)*2 } }\)
   ─   irukandji 07.09.2019 um 15:25
Ja, stimmt doch
\(f(2) = \dfrac{-2\cdot e^{\ln(2/3)\cdot 2}}{1+(-2)\cdot e^{\ln(2/3)\cdot 2}} = \dfrac{-\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} = -8\)   ─   maccheroni_konstante 07.09.2019 um 15:32
Ich hatte es mindestens 5 mal so in den Taschenrechner eingegeben und es wurde mir immer 2 angezeigt. Nachdem ich die Brüche einzeln eingegeben habe zeigt er mir auch -8 an. Komischerweise nun auch, wenn ich den kompletten Bruch eingebe.   ─   irukandji 07.09.2019 um 15:43
Wahrscheinlich hast Du Dich an irgendeiner Stelle vertippt. Manchmal wird man einfach betriebsblind. Dann hilft es, eine Pause einzulegen, einen Tee zu trinken oder eine Zigarette tu rauchen und dann wieder frisch ans Werk zu gehen. Das geht mir auch häufiger so.

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 07.09.2019 um 16:25
2. habe ich mit deine Hilfe so gelöst:
\(\frac{-2{ e }^{In(\frac{ 2 }{ 3 })*x } }{1-2{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }b }=3/*1(-2{ e }^{ In(\frac{2 }{ 3 })*x })\)

\(-2{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }=3(1-2{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x })\)

\(-2{ e }^{ In\frac{ 2 }{ 3 }*x }=3-6{ e }^{ In\frac{ 2 }{ 3 }*x }/..-3,+2{ e }^{ In\frac{ 2 }{ 3 }*x }\)

\(-3=-6{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }+2{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }\)

\(-3=-4{ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }/:(-4)\)

\(\frac{3 }{ 4 }={ e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 })*x }\)

\({ log }_{ { e }^{ In(\frac{ 2 }{ 3 } )} }(\frac{ 3 }{ 4 })=0,7095\)
   ─   irukandji 07.09.2019 um 16:31

Vielen vielen Dank für eure Hilfe
   ─   irukandji 07.09.2019 um 18:00
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Du ersetzt jeweils das / die \(x\) in der Gleichung durch die jeweilige x-Koordinate (0 bzw. 1) und \(f(x)\) (der y-Wert) durch die jeweilige y-Koordinate (2 bzw. 4). 

\(f(0) = 2 \Longleftrightarrow  \dfrac{T\cdot e^{Q\cdot 0}}{1+T\cdot e^{Q\cdot 0}}= 2 \Longleftrightarrow \dfrac{T}{1+T} = 2\)

\(f(1)=4 \Longleftrightarrow  \dfrac{T\cdot e^{Q\cdot 1}}{1+T\cdot e^{Q\cdot 1}}= 4 \Longleftrightarrow \dfrac{T\cdot e^Q}{1+T\cdot e^Q} = 4\)

Nun hast du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (Q, T), das es zu lösen gilt.
(Tipp: durch die erste Gleichung lässt sich direkt ein Parameterwert bestimmen)

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T ist einfach zu bestimmen. Was Q betrifft, ohne das jetzt im Einzelnen gerechnet zu haben: da Q ein Exponent und die Basis die Eulersche Zahl ist, wird Q wohl der natürliche Logarithmus von irgendwas sein.

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 07.09.2019 um 10:08
Danke für eure Antwortet. Ich habe gestern noch versucht diese Aufgabe zu lösen. T konnte ich mit der Hilfe bestimmen, Q nicht.
Ich schreibe alles in meinen ersten Beitrag. Leider ist es mir nicht möglich Formeln in die Kommentarfunktion einzufügen.
   ─   irukandji 07.09.2019 um 11:11
Hallo irukandji,

unterhalb von »Videos vorschlagen« gibt es den blauen Link »Hinweis: So gibst Du Formeln ein«. Außerdem gibt es noch den Community-Artikel »Eine vielleicht einfachere Eingabemöglichkeit für Anfänger«. Den findest Du hier:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9329/eine-vielleicht-einfachere-eingabemoglichkeit-fur-anfanger/

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 07.09.2019 um 11:23

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