Funktionenreihen

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: vor 1 Tag, 5 Stunden
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A: Verwende \(\ln\frac xy=\ln x-\ln y\). Du erhälst eine Teleskopsumme.
B: Zeige \(\sqrt{k+\frac1k}-\sqrt k\leq\frac1{2k^{3/2}}\).
C: Versuche, eine Abschätzung der Form \(\forall k\geq k_0:\frac{(k-1)^2}{k^3+2k+1}\geq c\cdot\frac1k\) zu finden. Dann kannst du die Reihe mit der harmonischen Reihe vergleichen.
D: \(|\sin(k\pi-\frac1{\sqrt k})|\) ist eine monoton fallende Nullfolge. Was kannst du über das Vorzeichen der Reihenglieder sagen?
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A und B funktionieren super!
Können Sie mir vielleicht bei der C noch helfen? soll ich verschiedene Wert von c probieren ??
Bzgl D, die Reihe ist alterniered oder? Das heißt man kann das Leibniz Kriterium nutzen
Vielen Dank im Voraus :)
  ─   needadiploma vor 4 Tagen, 7 Stunden

Bei der D: Ganz genau.
Bei der C: Die Idee ist, dass Zähler und Nenner durch ihre höchste Potenz dominiert werden, also dass \(\frac{(k-1)^2}{k^3+2k+1}\approx\frac{k^2}{k^3}=\frac1k\). Das stimmt auch, ist so aber kein Beweis. Deshalb versuchen wir abzuschätzen, sodass im Zähler ein Vielfaches von \(k^2\) und im Nenner ein Vielfaches von \(k^3\) steht. Im Zähler kannst du z.B. $$(k-1)^2=k^2-2k+1\geq k^2-2k\geq k^2-2\cdot\frac13k^2=\frac13k^2\quad\text{für }k\geq3$$ rechnen. So ähnlich kannst du auch den Nenner nach oben abschätzen.
  ─   stal vor 3 Tagen, 20 Stunden

Vielen Dank für die Hilfe!
  ─   needadiploma vor 1 Tag, 5 Stunden

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