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Dein erstes Argument ist schon gut. Um es wirklich komplett und ausführlich zu machen, verwendest Du am besten das typische "Einschieben" von Termen und die Dreiecksungleichung. Diese Technik ist eine der wichtigsten in der Analysis überhaupt.
1. Aus dem vorgegebenen Grenzwert folgt \(\lim_{t\to a}|f(t)-\alpha(t)|=0\). Das liefert für \(t\to a\) wegen der Stetigkeit von \(f\) in \(a\): \begin{align*}|f(a)-b|&=|f(a)-f(t)+f(t)-\alpha(t)+\alpha(t)-b|\\&\le|f(a)-f(t)|+|f(t)-\alpha(t)|+|\alpha(t)-b|\to0.\end{align*} Also gilt \(f(a)=b\).
2. Genauso behandeln wir \(f'(a)\): \[\left|\frac{f(t)-f(a)}{t-a}-m\right|\le\left|\frac{f(t)-\alpha(t)}{t-a}\right|+\left|\frac{\alpha(t)-b}{t-a}-m\right|\to0,\] also \(f'(a)=m\).
3. Sei \(\beta\) eine affine Funktion mit \[\lim_{t\to a}\frac{|f(t)-\beta(t)|}{|t-a|}=0.\] Zeige jetzt ganz ähnlich wie oben: \(\beta(a)=b\) und \(\beta'(a)=m\). Daraus folgt \(\beta=\alpha\).
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Zur Eindeutigkeit: Nein, dein Beweis stimmt nicht, denn Du wählst von Anfang an \(\beta=\alpha\). Die Zahlen \(b,m\) sind ja jetzt schon festgelegt. Die Aufgabe ist nicht so gut formuliert, besser wäre gewesen: ... Gibt es eine Affine Funktion \(\alpha\) mit ... dann ist \(f\) in \(a\) differenzierbar und es gilt \(f(a)=\alpha(a)\) und \(f'(a)=\alpha'(a)\). Implizit hast Du dies schon gezeigt. Dann ist die Eindeutigkeit klar, denn eine affine Funktion \(\alpha\) ist durch \(\alpha(a)\) und \(\alpha'(a)\) eindeutig festgelegt. ─ slanack 20.01.2021 um 14:42
Zu dem Beweis: d.h. ich habe im Grunde gezeigt: \(\alpha(a) = b\) und \(\alpha´(a) = m\) ? Ich kann somit also argumentieren, dass \(\alpha\) eindeutig ist, da eine affine Funktion eindeutig durch ihre Steigung und einen Punkt durch den sie hindurchgeht bestimmt ist, richtig? Also muss ich eigentlich in meinem Beweis nur \(\beta\) mit \(\alpha\) ersetzen, wenn ich das richtig verstanden habe? ─ physikstudent(1.s) 20.01.2021 um 15:00
Ich hätte noch eine Frage: Wieso genau ist die Stetigkeit von f im Punkt a wichtig?
Dann habe ich hier noch versucht die Eindeutigkeit zu zeigen, stimmt das so?
Sei \(\beta\) eine Funktion mit \(\lim_{t\rightarrow a}| \frac{f(t)-\beta(t)}{t-a} | = 0\) und der Form \(\beta : t \rightarrow m(t-a)+b\).
Dann gilt b = \(\beta(a)\), denn: Aus \(\lim_{t\rightarrow a}| \frac{f(t)-\beta(t)}{t-a} | = 0\) folgt: \(\lim_{t\rightarrow a} f(t) - \beta(t) = 0\).
Damit gilt für \(t\rightarrow a\) mit der Stetigkeit von f in a:
\(|\beta(a)-b| = |\beta(a)-\beta(t)+\beta(t)-b|\leq |\beta(a)-\beta(t)|+|\beta(t)-b| = 0\).
Damit folgt: \(\beta(a) = b\).
Außerdem gilt \(\beta´(a) = m\) , denn:
\(\lim_{t\rightarrow a}| \frac{\beta(t)-\beta(a)}{t-a} -m| = \lim_{t\rightarrow a} |\frac{-f(t)+f(t)-\beta(t)+\beta(t)+\beta(t)-b}{t-a} -m| \leq \lim_{t\rightarrow a} (|\frac{f(t)-\beta(t)}{t-a} | - |\frac{f(t)-\beta(t)}{t-a} | + |\frac{\beta(t)-b-m(t-a)}{t-a} | = 0 \).
Daraus folgt: \(\beta´(a) = m\).
Somit ist \(\beta = \alpha\) und \(\alpha(t)\) ist eindeutig. ─ physikstudent(1.s) 20.01.2021 um 14:27