Affine Abbildung mit Translation bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 193     Aktiv: 17.01.2024 um 22:22

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Hallo zusammen,
ich bereite mich fürs Mathe -Abi vor und habe eine Frage zu einer Aufgabe zu affinen Abbildungen: Es soll die affine Abbildung f bestimmt werden, welche die Punkte P(4/2) auf P'(2/-4), Q(6/4) auf Q'(4/-2) und R(4/4) auf R'(3/1) abbildet. Ich habe auch einen Ansatz, nämlich die Abbildung f mit Abbildungsmatrix A mit  unbekannten Koeffizienten a,b,c und d und die Translation t mit unbekanntem e und f einfach aufstellen.  Dann einfach in die Abbildungsgleichung f: x' = A*x + t nacheinander die Punkte P, Q und R für x und P',Q' und R' für x' einsetzen.
Daraus entstehen dann 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten, also lösbar. Meine Lösungen lauten dann a=0,5 b=0,5 c=-1,5 d=2,5 e=-1 und f=-3.
Dieses Gleichungssystem hat mich aber gut Zeit gekostet, deswegen meine Frage: Kann man die Abbildung f auch anderweitig bestimmen, gibt es da einen kürzeren/eleganteren Weg? Weil ansonsten sitze ich 15-20 Minuten nur an dem Gaußalgorithmus, wenn so eine Aufgabe kommt.
Schonmal vielen Dank für eure Zeit.
Liebe Grüße
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Ja, gibt es. Es gilt ja $A\cdot P+t=P',...$, also $A(P-Q)=P'-Q', A(R-Q)=R'-Q'$. Sind schonmal 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, was sich auch einfach lösen lässt:
Wir bilden die Matrizen $M_1=[P-Q, R-Q]$ und $M_2=[P'-Q', R'-Q']$. Dann gilt (prüfe selbst!): $A\cdot M_1=M_2$, also $A=M_2\cdot M_1^{-1}$. Die Inverse einer 2x2-Matrix darf man auswendig kennen, siehe z.B. https://www.massmatics.de/merkzettel/#!305:Inverse_von_2x2-Matrizen
Damit kann $A$ leicht ausrechnen und damit $t=P'-A\cdot P$.
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Aaaaahhhh, das ist natürlich wesentlich kürzer und eleganter als mein Weg, die Translation am besten erstmal wegsubtrahieren. Top, vielen lieben Dank für diese sehr hilfreiche und extrem flotte Antwort. Ich bin begeistert :)   ─   user19a095 17.01.2024 um 22:12

Freut mich. Wir tun was wir können ;-)   ─   mikn 17.01.2024 um 22:22

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