Polynom-Methode (Diskrete Mathematik)

Aufrufe: 93     Aktiv: 04.09.2021 um 19:15

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Hallo,

es geht um folgende Aussage: 


Ich verstehe diese Aussage nicht ganz. Heißt es einfach, dass die beiden Polynome unendlich viele gemeinsame Nullstellen haben müssen? Kann mir jemand die Aussage an einem Beispiel zeigen?

Danke im Voraus!
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Probier selbst (dabei lernst Du ja was!) zwei Polynome (egal welche!) aus.
Zutaten zum Verständnis der allgemeinen Aussage (das steht in Deiner Algebra I):
Für Polynome, die nicht das Nullpolynom sind, gilt:
Es hat einen endlichen Grad n>0.
Es hat genauso soviele Nullstellen wie der Grad angibt (nicht unbedingt verschiedene).
Die Differenz zweier Polynome ist wieder ein Polynom.
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wie kann man denn anhand dieses Satzes überprüfen, ob zwei gegebene Polynome identisch sind? Wenn ich bspw. die Polynome q=x^2+x und p=x^2+5 habe, wie wende ich den Satz nun an?   ─   einmaleins 04.09.2021 um 16:42

Kann ich einfach sagen q-p= x-5 ist kein Nullpolynom und deshalb sind q und p nicht identisch?   ─   einmaleins 04.09.2021 um 16:43

Ja. Aber wenn Du das fragst, bist Du noch unsicher. Mach Dir das ganz klar. Vergleiche auch die Nullstellen von p und q (um die geht es ja in dem Lemma).   ─   mikn 04.09.2021 um 17:07

Die NST von q sind 0 und -1. Die NST von p sind ±√5i. Allein dass die nicht übereinstimmen, heißt, dass sie nicht identisch sind.   ─   einmaleins 04.09.2021 um 18:35

Ja, genau. Das klingt gut, nach gewonnenem Verständnis!
  ─   mikn 04.09.2021 um 19:15

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Du musst dir jetzt erstmal genau die Situation klar machen. Du hast zwei Polynome \(\alpha,\beta \in \mathbb{C}[X]\), die an unendlich vielen Stellen gleich sind und sollst daraus schließen das sie dann auch überall gleich sind. So etwas ist nicht selbstverständlich,  beispielsweise haben die reellen Funktionen \(f,g\) mit \(f(x)=x\) und \(g(x)=|x|\) auch unendlich viele gemeinsame Punkte, sind aber nicht überall gleich (sie sind sogar an unendlich vielen Stellen nicht gleich). Man betrachtet nun also \(\alpha-\beta\), dies ist wiederum ein Polynom, da \(\mathbb{C}[X]\) ein Ring ist. Dieses neue Polynom hat nun also unendlich viele Nullstellen und aus der Galoistheorie folgt dann, dass es sich nur um das Nullpolynom handeln kann.
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Jetzt bin ich verwirrt, denn die obige Aussage sagt ja, dass wenn zwei Polynome in unendlich vielen Stellen übereinstimmen, so sind sie identisch. Also wären nach obigen Satz doch f(x) und g(x) identisch? (Natürlich sind sie nicht identisch, aber dieser Widerspruch verwirrt mich ein bisschen)   ─   einmaleins 04.09.2021 um 16:12

g ist kein Polynom.   ─   mikn 04.09.2021 um 16:22

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Für endliche Polynome würde das nicht gelten, denn
\(\alpha=\sum_{i=0}^{n}\alpha_ix^i=\alpha_n\cdot \Pi_{i=0}^{n}(x-x_i) \)
\(\beta=\sum_{i=0}^{n}\beta_ix^i=\beta_n\cdot \Pi_{i=0}^{n}(x-x_i) \)
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Irgendwie sehe ich nicht, wieso das hier zum Beispiel nicht gilt. Wieso würde es gelten, wenn es unendliche Polynome wären…?   ─   einmaleins 03.09.2021 um 18:58

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Von endlichen oder unendlichen Polynomen wird doch rein gar nichts gesagt. Die Polynome sind aus $\mathbb{C}[X]$. Dazu zählen beispielsweise auch $p=x^2+1$ und $q=x^9-2x^5$. Diese Antwort hier ist einfach nur falsch.   ─   cauchy 03.09.2021 um 19:15

Und die Polynome p und q, wie du sie gewählt hast wären nicht identisch, weil p 2 NsT und q 9 NST besitzt oder?   ─   einmaleins 03.09.2021 um 20:41

Eher, weil sie nicht an unendlich vielen Stellen übereinstimmen. Aber ja, man sieht ja auch, dass sie offensichtlich nicht identisch sind. Aber sie erfüllen ja auch nicht die Voraussetzung des Satzes.   ─   cauchy 03.09.2021 um 20:51

Du siehst hoffentlich auch so, dass sie nicht identisch sind. Zwei Funktionen (Polynome sind Funktionen) sind identisch, wenn sie für jeden x-Wert denselben y-Wert liefern.   ─   mikn 03.09.2021 um 20:52

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