Wie berechne ich ein Extrema und einen Wendepunkt in einer Funktion, die sinus sowie cosinus beinhaltet? (Im Intervall [0;2π])

Aufrufe: 571     Aktiv: 11.12.2020 um 22:25
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Meine Aufgabe lautet wie folgt:

"Bestimme die Extrema und Wendepunkte der Funktion f mit y = sin^2(x) im Intervall [0; 2π]"

Somit habe ich zuerst die ersten drei Ableitungen gebildet.

f'(x) = 2*(cos(x)*sin(x))

f''(x) = -2 * (sin^2(x)-cos^2(x))

f'''(x) = -2*(2*(sin(x)*cos(x))-2*(-sin(x)*cos(x)))

Ich habe mir folgende Videos von Daniel Jung angeschaut:

https://www.youtube.com/watch?v=7M2WfInrrH0

https://www.youtube.com/watch?v=pLHv8LTk3jY

Somit habe ich meine erste Ableitung gleich Null gesetzt:

2*(cos(x)*sin(x)) = 0

In den Videos erklärt er aber leider nicht wie vorzugehen ist falls sinus sowie cosinus in der Funktion vorkommen.

Und ich weiß auch nicht wie ich den Wendepunkt berechnen soll.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

 

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Wenn ich richtig verstanden habe meinst du wie man auf das x kommt damit untrige Gleichung( 2*(cos(x)*sin(x)) = 0 )gelöst ist, oder?   ─   thomasphys 11.12.2020 um 21:40
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Guten Abend.

Zu den Extrempunkten: Bei der ersten Ableitung hast du ein Produkt von mehreren Faktoren. Nutze den Satz vom Nullprodukt: Das Produkt zweier Zahlen ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Die Nullstellen von Sinus und Cosinus sollte man kennen. Notfalls kann man diese nachschlagen oder man skizziert sich diese Funktionen. 

Zu den Wendepunkten: Hier kann man für die notwendige Bedingung ausrechnen, wann \(\sin^2(x)=\cos^2(x)\) erfüllt ist. Alternativ kann man hier auch \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) verwenden und einen der Terme eliminieren. 

Das hilft dir bestimmt weiter. 

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