Terme, Summen, Logarithmus, Ungleichung (umformen)

Aufrufe: 376     Aktiv: 14.11.2022 um 16:54

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Liebe Community,

ich habe Probleme bei der obenstehenden Aufgabe. Beim 1. Teil wo zu zeigen ist, dass H(X) = log2(N) ist weiß ich bereits, dass für P(X=x) gilt, dass dies 1/N ist. An dieser Stelle hänge ich jedoch dabei fest, den Term zu log2(N) umzuformen, was insbesondere an der Summe liegt.
Beim 2. Teil der Aufgabe (Jensen Ungleichung) weiß ich leider gar nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich hoffe mir kann jemand bei den obenstehenden Aufgaben weiterhelfen.

Mit freundlichen Grüßen
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Student, Punkte: 138

 
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1 Antwort
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Das erste ist sehr einfach, wenn man erkennt, dass die Summanden gar nicht mehr vom Laufindex abhängen, sondern konstant sind.
Das zweite ist auch nicht so schwer: Natürlich soll die J-Ungl angewendet werden, also vergleicht man diese mit den Termen, um die es hier geht (so weit sollte man selbst kommen, als Stud, also gar keine Ahnung wie rangehen ist bedenklich). Also wählt man $a_i, x_i$ geschickt, es soll ja auf der linken Seite was mit $H(X)$ entstehen, nutzt dann elementare Sätze zur Wahrscheinlichkeit und zu $\log_2$ sowie die Monotonie des letzteren und fertig.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Beim ersten habe ich jetzt
H(X) = - i=1 ∑ N (Summe von i=1 bis N) 1/N * log2(1/N)
Wenn die Summanden nicht vom Laufindex abhängen ist mir immer noch nicht ganz klar wie ich das jetzt zu log2(N) umformen kann. Vermutlich aber auch weil ich mit log2 noch nie vorher arbeiten musste.
  ─   peterneumann 14.11.2022 um 15:13

Wird die Summe nicht einfach zu einem N? Sodass ich nur noch N*1/N*log2(1/N) habe?   ─   peterneumann 14.11.2022 um 16:11

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