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Beide Aussagen, $G$ kommutativ (und damit auch $N$ kommutativ) und $|G/N|=2$ sind hinreichende Bedingungen dafür, dass $N$ ein Normalteiler ist. Wenn also eine der beiden erfüllt ist, weißt du, dass $N$ ein Normalteiler ist. Es gibt aber auch Normalteiler, die keine der beiden Bedingungen erfüllen. Zum Beispiel ist $K=\{\mathrm{id},(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\subseteq A_4$ ein Normalteiler mit $|A_4/K|=3$ und $A_4$ ist natürlich auch nicht kommutativ.
Die Definition eines Normalteilers $N\leq G$ ist, dass $N$ eine Untergruppe ist, die zusätzlich eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:
Die Definition eines Normalteilers $N\leq G$ ist, dass $N$ eine Untergruppe ist, die zusätzlich eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:
- $\forall n\in N\ \forall g\in G:gng^{-1}\in N$,
- Es gibt eine Gruppe $H$ und einen Gruppenhomomorphismus $f:G\to H$ mit $N=\ker f$.
- Die Operation $(g+N,g'+N)\mapsto gg'+N$ definiert eine wohldefinierte Gruppenstruktur auf $G/N$.
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stal
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Vielen Dank :) glaub so genau brauch ich's dann auch nicht können - aber ist gut, so viel wie möglich zu wissen (auch wenn mein jetziger Prof und Prüfer, im Gegensatz zum Vorigen, alles zu 100% besser erklärt - und voraussichtlich auch nicht annäherend so hart prüft, aber leider gibt es immer solche und solche :/ ) , danke auf jeden Fall :)
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sven03
24.06.2021 um 18:26