Bilden Schnittpunkte der Ebene mit Koordinatenachsen ein gleichseitiges Dreieck?

Erste Frage Aufrufe: 428     Aktiv: 29.05.2022 um 15:06
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Gesucht ist der Wert für a

ax+(2+a)y-2z
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Da du hier deine erst Frage stellst möchte ich dich darauf hinweisen, dass wir hier nicht deine Aufgaben lösen, sondern gemeinsam mit dir dich an die Lösung heranführen möchten. Dazu ist es wichtig das du erstens die vollständige Aufgabenstellung postest und zweitens deine Gedanken, Ideen und/oder bereits getätigte Rechnungen mit hochlädst. Dann können wir erkennen wo du deinen Denkfehler hast. Dazu sei freundlich kurz auf unseren Kodex verwiesen:
https://www.mathefragen.de/artikel/22ed83e199de247c/unser-kodex/


Nun zu deiner Frage. Zuerst hast du keine komplette Ebenengleichung angegeben. So wie du es angegeben hast kann man garnichts ausrechnen. Bitte die vollständige Gleichung der Ebene angeben. Dann zur Fragestellung (am besten ein Foto von der Aufgabe posten) soll $a$ so bestimmt werden, so dass die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein gleichseitiges Dreieck ergeben? Oder soll gezeigt werden, dass die Achsenschnittpunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden dessen Seitenlänge abhängig von dem Parameter $a$ ist? Bevor das nicht geklärt ist, braucht man nicht weitermachen.   ─   maqu 28.05.2022 um 22:54
Danke für die schnelle Reaktion! Ja, a soll so bestimmt werden, so das die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein gleichseitiges Dreieck ergeben. Bzw, existiert ein a, so dass die Schnittpunkte ein gleichseitiges Dreieck ergeben.

Bisher habe ich die 3 Scharpunkte berechnet. Sx(6/a,0,0) - Sy(0,6/(2+a),0) - Sz(0,0,-3). Meine Antwort soweit ist, dass kein a existiert. Aber ist das richtig?   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:03
Die Gleichung ist: Ea : a*x+(2+a)*y-2*z=6   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:09
Ich habe es visualisiert und da müsste ein gleichseitiges Dreieck jeweils die Länge 3 haben (der absolute Wert in Sz ist 3). Es gibt aber kein a, für das der absolute Wert von x und y 3 wäre. Aber die Logik ist vermutlich zu einfach, oder?   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:16
Es sollte natürlich gleichseitig heissen und nicht dreiseitig..   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:45
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Bitte beim nächsten Mal von Anfang an die komplette Aufgabenstellung mitliefern und auch Deine Überlegungen.
Deine Schnittpunkte stimmen. Warum sollte es nun kein a geben, so dass das Dreieck gleichseitig ist? Ich finde solche a.
Also, wie sieht Deine Rechnung aus? Visualisierungen sind manchmal hilfreich, manchmal irreführend. Also rechne.
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Auf jeden Fall reiche ich das nächste Mal alles ein.. Geometrie ist bei mir am längsten her, hab da wirklich Lücken. Habe die Verbindugsvektoren berechnet:
XY = (-6/a,6/(2+a), 0). YZ=(0,--6/(2+a),-3),ZX=(6/a, 0,3). Hab Ihr noch einen Tipp wie es weitergehen könnte?   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:39
Länge des Vektors geht über Pythagoras: Dh für YZ= 6/(2+a)+9 und für ZX=(6/a)+9. Und das ist unlösbar, oder?   ─   userd1b49a 29.05.2022 um 00:20
Ich bin jetzt bei a=3,46, aber es wid nicht stimmen :( Morgen geht es weiter..   ─   userd1b49a 29.05.2022 um 00:58

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Ok also es ist auch ein Unterschied ob gefragt wird, ob ein solches $a$ existiert oder ob man eins bestimmen soll. Anhand deiner Punkte nehme ich an es handelt sich um die Ebenengleichung
$E: ax+(2+a)x-2z=6$?

Wie bist du denn zu deiner Antwort gekommen? Hast du schon irgendwas gerechnet oder kann es einfach deiner Meinung nach kein solches $a$ geben? 

Hast du denn schon die Verbindungsvektoren aufgestellt?

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Zu deinem letzten Kommentar: die Länge des Ortsvektors deines Punktes ist $3$. Du musst aber die Verbindungsvektoren deiner Spurpunkte untersuchen.   ─   maqu 28.05.2022 um 23:19
Auf jeden Fall reiche ich das nächste Mal alles ein.. Geometrie ist bei mir am längsten her, hab da wirklich Lücken. Habe die Verbindugsvektoren berechnet:
XY = (-6/a,6/(2+a), 0). YZ=(0,--6/(2+a),-3),ZX=(6/a, 0,3). Hab Ihr noch einen Tipp wie es weitergehen könnte?   ─   userd1b49a 28.05.2022 um 23:40
Gehe dem Hinweis von @mikn nach (der mir immer ein mu voraus ist 😜). Die Länge der Verbindungsvektoren soll gleich sein. Es reicht dabei aus wenn du das zunächst zwischen zwei der Verbindungsvektoren prüfst. Das was du dann dort für $a$ ausrechnest kannst du in deine von $a$ abhängigen Verbindungsvektoren einsetzen und dann untersuchen ob alle drei die gleiche Länge für den Wert von $a$ haben.   ─   maqu 28.05.2022 um 23:55
Länge des Vektors geht über Pythagoras: Dh für YZ= 6/(2+a)+9 und für ZX=6/a+9. Und das ist unlösbar, oder?
   ─   userd1b49a 29.05.2022 um 00:19
Die Länge eines Vektors ist definiert als $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Du hast vergessen $-\frac{6}{a}$ und $\frac{6}{2+a}$ zu quadrieren. Du musst dann die Gleichung $|\overrightarrow{YZ}|=|\overrightarrow{ZX}|$ für $a$ lösen, wenn du dich für diese Vektoren entschieden hast. Als Hinweis es gibt zwei $a$ die diese Gleichung erfüllen.   ─   maqu 29.05.2022 um 07:59
Eigentlich dachte ich, ich hätte quadriert... (6/2*a)^2+9=(6/a)^2+9 die 9 kürzt sich und dann aus beiden Termen die Wurzel ziehen ergibt 6/(2+a)=6/a. Das kürze ich zu a/2+a = 1 und ab da wird es unlösbar... (
   ─   userd1b49a 29.05.2022 um 10:09
Es ist zulange her bei mir...(Bei polynomen verwendet man binomische Formel.. hab wirklich nochlange damit gerechnet, aber irgendwo bieg ich falsch ab..)   ─   userd1b49a 29.05.2022 um 10:11

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Wenn ich dich wäre, würde ich mir das Leben recht einfach machen:
Um überhaupt ein Dreieck zu bilden, muss die Ebene alle 3 Koordinatenachsen schneiden.
Heißt, es gibt 3 Schnittpunkte. Die man easy ausrechnen kann weil bei den 3 Schnittpunkten ja 2 von 3 Koordinaten gleich Null sind.
Mit den Schnittpunkten wiederum lassen sich Vektoren zwischen je 2 der Punkte bilden.
Alle 3 Vektoren gleich lang <=>alle 3 Seiten des Dreiecks gleich lang.
Also 3 Gleichungen in denen a vorkommt.

Nur so mein grober Gedankengang, das auszurechnen dürfte nicht schwer sein

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