Mit PBZ haben wir \(\frac1{(k+1)(k+2)} =\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\). Damit

\(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{H_k}{(k+1)(k+2)}= \sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{H_k}{k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{H_k}{k+2}= \sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{H_k}{k+1}-\sum\limits_{k=2}^n\frac{H_ {k-1}}{k+1} =\)

\(\frac12\,H_1 +\sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac{H_k-H_{k-1}}{k+1} -\frac{H_{n-1}}{n+1}= \frac12 + \sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac1{(k+1)\,k} -\frac{H_{n-1}}{n+1} = \)

Summe mit PBZ zerlegen/Indexverschiebung

\(\frac12+\frac12 -\frac1n -\frac{H_n-\frac1n}{n+1} = \frac{n-H_n}{n+1}\)