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Ich mache mal eine Antwort aus meinen Kommentaren und beziehe mich dabei auf Teil c), weil das wohl der Teil mit dem größten Problem ist.
Die gesuchte Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, nenne ich einmal $h$. Der Punkt $P$ ist von vorher bekannt und kann für den Stützvektor verwendet werden. Der Punkt $Q$ ist aber noch nicht bekannt und kann nicht verwendet werden. Deshalb wird auch erst später in der Aufgabe nach $Q$ gefragt.
Der Trick für den Richtungsvektor ist es nun, die Symmetrie der Pyramide auszunutzen: Die vier seitlichen Seiten haben nicht nur alle die gleiche Form, sondern sind auch im gleichen Winkel zur Boden-Ebene geneigt.
Der Richtungsvektor von $h$ muss natürlich in der im Bild rechten Ebene liegen. Dafür muss der Vektor $\overrightarrow{AP}$ um 90° gedreht werden, und zwar um die Mittel-Achse der Pyramide.
Wichtig dabei:
- Die Drehung bezieht sich nur auf die $x$- und auf die $y$-Koordinate (also wie bei den Grundseiten des Dreiecks der seitlichen Pyramidenflächen).
- Behalte dabei die Längen in die Achsen-Richtungen bei, denn dann...
- ...ist die $z$-Koordinate des Richtungsvektors die gleiche wie die von $\overrightarrow{AP}$.
- der Richtungsvektor von $h$ ist dadurch dann natürlich länger als die Strecke von $P$ nach $Q$.
- Ob man den Richtungsvektor wie im Kommentar zur Frage angedeutet mit einem Hilfspunkt macht oder ob man in Bezug auf $x$- und $y$-Komponente die 90°-Drehung wie im 2-dimensionalen durchführt, ist dabei aus meiner Sicht eine Geschmacksfrage.
Für die Berechnung von $Q$ muss dann ein Schnittpunkt bestimmt werden. Die weiteren Aufgaben von Teil I können dann so ähnlich wie Teil b) gelöst werden (abgesehen vom letzten Teil von d - da bietet sich ein Strahlensatz an. Alternativ könnte natürlich auch ein Term für den Abstand zweier Punkte auf gleicher Höhe auf benachbarten Kanten der Pyramide in Abhängigkeit des Parameters aufgestellt und mit der gewünschten Kantenlänge gleichgesetzt werden...).
Noch ein Hinweis am Rande: Der Winkel zwischen $\overrightarrow{AP}$ und dem Richtungsvektor von $h$ beträgt nicht (!) 90°. Das liegt an der Steigung, die auf der schrägen Seite verläuft. Die Grundkanten am Boden bilden einen rechten Winkel. Wenn man das dann kippt und den rechten Winkel bezüglich des Bodens gleich lässt, ändert sich der Winkel zwischen den Seiten. Das kann man mit einem Gliedermaßstab (Zollstock) praktisch ausprobieren.
Die gesuchte Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, nenne ich einmal $h$. Der Punkt $P$ ist von vorher bekannt und kann für den Stützvektor verwendet werden. Der Punkt $Q$ ist aber noch nicht bekannt und kann nicht verwendet werden. Deshalb wird auch erst später in der Aufgabe nach $Q$ gefragt.
Der Trick für den Richtungsvektor ist es nun, die Symmetrie der Pyramide auszunutzen: Die vier seitlichen Seiten haben nicht nur alle die gleiche Form, sondern sind auch im gleichen Winkel zur Boden-Ebene geneigt.
Der Richtungsvektor von $h$ muss natürlich in der im Bild rechten Ebene liegen. Dafür muss der Vektor $\overrightarrow{AP}$ um 90° gedreht werden, und zwar um die Mittel-Achse der Pyramide.
Wichtig dabei:
- Die Drehung bezieht sich nur auf die $x$- und auf die $y$-Koordinate (also wie bei den Grundseiten des Dreiecks der seitlichen Pyramidenflächen).
- Behalte dabei die Längen in die Achsen-Richtungen bei, denn dann...
- ...ist die $z$-Koordinate des Richtungsvektors die gleiche wie die von $\overrightarrow{AP}$.
- der Richtungsvektor von $h$ ist dadurch dann natürlich länger als die Strecke von $P$ nach $Q$.
- Ob man den Richtungsvektor wie im Kommentar zur Frage angedeutet mit einem Hilfspunkt macht oder ob man in Bezug auf $x$- und $y$-Komponente die 90°-Drehung wie im 2-dimensionalen durchführt, ist dabei aus meiner Sicht eine Geschmacksfrage.
Für die Berechnung von $Q$ muss dann ein Schnittpunkt bestimmt werden. Die weiteren Aufgaben von Teil I können dann so ähnlich wie Teil b) gelöst werden (abgesehen vom letzten Teil von d - da bietet sich ein Strahlensatz an. Alternativ könnte natürlich auch ein Term für den Abstand zweier Punkte auf gleicher Höhe auf benachbarten Kanten der Pyramide in Abhängigkeit des Parameters aufgestellt und mit der gewünschten Kantenlänge gleichgesetzt werden...).
Noch ein Hinweis am Rande: Der Winkel zwischen $\overrightarrow{AP}$ und dem Richtungsvektor von $h$ beträgt nicht (!) 90°. Das liegt an der Steigung, die auf der schrägen Seite verläuft. Die Grundkanten am Boden bilden einen rechten Winkel. Wenn man das dann kippt und den rechten Winkel bezüglich des Bodens gleich lässt, ändert sich der Winkel zwischen den Seiten. Das kann man mit einem Gliedermaßstab (Zollstock) praktisch ausprobieren.
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joergwausw
Punkte: 2.37K
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Du hast den Aufgabentext aus dem Buch abgeschrieben. Der war auf dem Bild schon gut zu erkennen.
Allerdings hast Du nicht aufgeschrieben, an welcher Stelle Du nicht weiterkommst oder ob Du überhaupt eine Frage hast.
Hier wird Dir gerne beim Selbermachen geholfen, aber es gibt keine Musterlösungen zum Abschreiben. ─ joergwausw 20.09.2021 um 19:47