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Aufgabe
Gegeben sei eine quadratische Pyramide, die 100m breit und 50m hoch ist.

a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden in denen die vier Pyramidenkanten verlaufen.
b) Forscher vermuten, dass das Baumaterial ueber riesige Rampen, die sich laengs der eingezeichneten blauen Strecken an die Pyramide lehnten, transportiert wurde.
Die erste Rampe hat im Punkt P 10m Hoehenunterschied erreicht. Bestimmen Sie P.
c) Die anschliessende Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen.
Bestimmen Sie die Gleichung der entsprechenden Geraden.
In welchem Punkt Q endet diese Rampe?
In welchem Punkt erreicht die Rampe die Hoehe von 15m?
d) In welchen Punkten durchstossen die Pyramidenkanten eine Hoehe von 20m?
In welcher Hoeher betraegt der horizontale Querschnitt der Pyramide $ 25m^2? $
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Hallo,

Du hast den Aufgabentext aus dem Buch abgeschrieben. Der war auf dem Bild schon gut zu erkennen.
Allerdings hast Du nicht aufgeschrieben, an welcher Stelle Du nicht weiterkommst oder ob Du überhaupt eine Frage hast.

Hier wird Dir gerne beim Selbermachen geholfen, aber es gibt keine Musterlösungen zum Abschreiben.
  ─   joergwausw 20.09.2021 um 19:47

hallo, ich habe die Aufgabe a ohne Probleme geschafft allerdings habe ich etwas Probleme mit der Aufgabe b. Der Punkt P liegt auf der Gerade BS und hat die Höhe 10 Meter reicht diese Information um den Punkt P auszurechnen? S(-50/50/50) B(0/100/0)   ─   userbdfe90 20.09.2021 um 20:01

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am sinnvollsten ist es hier eine gerade durch S und B zu legen und den Punkt zu bestimmen, an dem die Gerade eine z-.Koordinate von 10 hat   ─   fix 20.09.2021 um 20:08

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Ja, die Info reicht, wenn Du die Geradengleichung hast (das war ja in a zu machen) - Du kennst ja die Höhe und kannst die dritte Koordinate auf 10 setzen und damit den Parameter bestimmen (eine Gerade hat ja nur einen Parameter). Damit bekommst Du dann auch die anderen beiden Koordinaten.   ─   joergwausw 20.09.2021 um 20:09

Vielen Dank ich hab den Punkt raus P(-10/90/10).Jetzt habe ich allerdings ein Problem bei C wie kann ich den Steigungswinkel ausrechnen?
  ─   userbdfe90 20.09.2021 um 20:16

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Gute Frage.... die erste Idee, die ich habe, geht so: Verlege den Punkt $P$ auf die Gerade $AS$ und den Punkt $Q$ auf $BS$. Dann muss die Steigung parallel sein zur vorigen Steigung...
Alternativ: Drehe den Vektor $\vec{AP}$ um 90°, starte in diese Richtung eine Gerade durch $P$ und berechne den Schnittpunkt mit $CS$....

Vielleicht hat noch jemand eine andere Idee?
  ─   joergwausw 20.09.2021 um 20:23

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dadurch das der winkel von den Seiten der pyramide zur Grundebene gleich ist und auch der Steigungswinkel, ist der Vektor PQ der gleiche wie AP, nur eben um 90° rotiert   ─   fix 20.09.2021 um 20:26

Verstehe ich nicht ganz, aber danke für die Hilfe!   ─   userbdfe90 20.09.2021 um 20:30

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Danke für die Bestätigung, @fix . Habe mal kurz ins Lösungsbuch geguckt, die machen das auch so - und setzen zur Bestimmung des neuen Richtungsvektors einen Hilfspunkt, von P aus 90m in x-Richtung, 10m in y-Richtung, 10m in z-Richtung und berechnen dann damit den Richtungsvektor...   ─   joergwausw 20.09.2021 um 20:34

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schön:) Hab zwar die Lösungen nicht, hab das Buch aber auch in den letzten 2 Jahren im Unterricht bearbeitet   ─   fix 20.09.2021 um 21:48

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habe auch erst da reingeguckt, nachdem ich wissen wollte, ob es noch eine andere Idee gibt... ist die gleiche, nur anders umgesetzt.   ─   joergwausw 20.09.2021 um 21:55

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Die Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{PQ}$ können gar nicht "gleich" sein, weil sie unterschiedlich lang sind.   ─   cauchy 21.09.2021 um 00:30

Ich bin jetzt bei den Geradenscharen angekommen bei der Aufgabe b. Da muss ich ja zeigen, dass die Gerade von BS identisch mit der vom Lichtstrahl die Gerade ist. Aber die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, dass heißt, dass die Geraden nicht identisch sein können. Kann mir einer dabei helfen die Aufgabe zu lösen?   ─   userbdfe90 21.09.2021 um 14:19

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Nein, Deine anschauliche Deutung ist hier falsch. Das ist auch nicht gut in der Aufgabe formuliert.
Da müsste stehen: "Von $T$ aus breitet sich Licht in genau alle die Richtungen aus, die durch die verschiedenen Werte von $a$ gegeben sind."

Die Problematik liegt darin, sich vorzustellen, wie das Licht sich eigentlich ausbreitet: das sieht so ein bisschen fächerförmig aus (wie bei einer Lasershow), wobei der Fächer letztendlich ausgefüllt ist und eine Ebene bildet...

Gefragt ist also, ob es für jeden Punkt $R$ auf der Strecke $\overline{BS}$ einen passenden Wert für $a$ gibt, so dass die entsprechende durch $a$ gegebene Gerade diesen Punkt $R$ trifft. Entweder: Stelle für das Licht die Ebenengleichung auf (warum das eine Ebene ist, muss man sich dabei auch noch überlegen) und prüfe, ob die Gerade $BS$ drinliegt (dann auch die Strecke) - das klappt. Oder: Setze die Gerade $BS$ und die Geraden durch $T$ mit dem $a$ im Richtungsvektor gleich und löse das Gleichungssystem (nicht linear! Geht aber, weil drei Gleichungen für drei Unbekannte existieren). Auch hier bekommt man heraus, dass die Behauptung stimmt.

Problem dabei, worauf auch das Lösungsbuch nicht eingeht: Damit ist lediglich für eine masselose Pyramide gezeigt, dass das Licht von $T$ aus an der Kante $\overline{BS}$ ankommt. Es ist noch nicht nachgewiesen, dass die Pyramide selbst nicht im Weg ist... aber das ist wohl gar nicht verlangt...
  ─   joergwausw 21.09.2021 um 16:22

@cauchy sorry, das war ein formulierunghsfehler. Ich meinte natürlich die richtungsvektoren der Geraden durch AP und PQ   ─   fix 21.09.2021 um 17:32
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Ich mache mal eine Antwort aus meinen Kommentaren und beziehe mich dabei auf Teil c), weil das wohl der Teil mit dem größten Problem ist.

Die gesuchte Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, nenne ich einmal $h$. Der Punkt $P$ ist von vorher bekannt und kann für den Stützvektor verwendet werden. Der Punkt $Q$ ist aber noch nicht bekannt und kann nicht verwendet werden. Deshalb wird auch erst später in der Aufgabe nach $Q$ gefragt.

Der Trick für den Richtungsvektor ist es nun, die Symmetrie der Pyramide auszunutzen: Die vier seitlichen Seiten haben nicht nur alle die gleiche Form, sondern sind auch im gleichen Winkel zur Boden-Ebene geneigt.

Der Richtungsvektor von $h$ muss natürlich in der im Bild rechten Ebene liegen. Dafür muss der Vektor $\overrightarrow{AP}$ um 90° gedreht werden, und zwar um die Mittel-Achse der Pyramide.
Wichtig dabei:
- Die Drehung bezieht sich nur auf die $x$- und auf die $y$-Koordinate (also wie bei den Grundseiten des Dreiecks der seitlichen Pyramidenflächen).
- Behalte dabei die Längen in die Achsen-Richtungen bei, denn dann...
- ...ist die $z$-Koordinate des Richtungsvektors die gleiche wie die von $\overrightarrow{AP}$.
- der Richtungsvektor von $h$ ist dadurch dann natürlich länger als die Strecke von $P$ nach $Q$.
- Ob man den Richtungsvektor wie im Kommentar zur Frage angedeutet mit einem Hilfspunkt macht oder ob man in Bezug auf $x$- und $y$-Komponente die 90°-Drehung wie im 2-dimensionalen durchführt, ist dabei aus meiner Sicht eine Geschmacksfrage.

Für die Berechnung von $Q$ muss dann ein Schnittpunkt bestimmt werden. Die weiteren Aufgaben von Teil I können dann so ähnlich wie Teil b) gelöst werden (abgesehen vom letzten Teil von d - da bietet sich ein Strahlensatz an. Alternativ könnte natürlich auch ein Term für den Abstand zweier Punkte auf gleicher Höhe  auf benachbarten Kanten der Pyramide in Abhängigkeit des Parameters aufgestellt und mit der gewünschten Kantenlänge gleichgesetzt werden...).

Noch ein Hinweis am Rande: Der Winkel zwischen $\overrightarrow{AP}$ und dem Richtungsvektor von $h$ beträgt nicht (!) 90°. Das liegt an der Steigung, die auf der schrägen Seite verläuft. Die Grundkanten am Boden bilden einen rechten Winkel. Wenn man das dann kippt und den rechten Winkel bezüglich des Bodens gleich lässt, ändert sich der Winkel zwischen den Seiten. Das kann man mit einem Gliedermaßstab (Zollstock) praktisch ausprobieren.
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