Hier die Funktion: \(f(t) = 1 + 2 \cdot sin(2t + \pi) \)

Funktionsterm lässt sich "vereinfachen" zu \(f(t) = 1 - 2 \cdot sin(2t) \)

VARIANTE 1

1. Ableiten

Die \(1\) fällt weg. Die Konstante in dem Produkt bleibt erst einmal stehen und wir kümmern uns um die Ableitung von \(sin(2t)\)!

Nach der Kettenregel: \(2cos(2t)\)

$$f'(t) = -4cos(2t)$$

2. Die Ableitung mit \(0\) gleichsetzen!

$$-4cos(2t) = 0$$

3. Nach \(t\) umstellen!

$$cos(2t) = 0$$

$$2t = arccos(0)$$

$$2t = \frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{N}$$

$$t = \frac{\pi}{4} + 0.5k\pi | k \in \mathbb{N}$$

4. Erneut ableiten

$$f'(t) = -4cos(2t)$$

Konstante \(-4\) wieder außen vor lassen und \(cos(2t)\) ableiten!

$$f''(t) = -4 \cdot -sin(2t) \cdot 2 = 8sin(2t)$$

5. Eins der möglichen \(t\) einsetzen!

$$f''(\frac{\pi}{4}) = 8sin(\frac{\pi}{2}) = 8 \cdot 1 = 8$$ 

Da bei \(t = \frac{\pi}{4}\) eine positive Zahl rauskam, ist an dieser Stelle ein Tiefpunkt.

6. Durch einfache Überlegung wirst du erkennen, dass alle Tiefpunkte deiner Funktion nur einen Funktionswert von \(-1\) haben können. 

7. Da sich Hoch- und Tiefpunkte abwechseln, kannst du nicht jedes t, sondern nur jedes zweite nehmen!

8. Damit sind deine Tiefpunkte: \(E_{t} = (\frac{\pi}{4} + k\pi | -1)\)!

VARIANTE 2

1. Du erkennst, dass alle Tiefpunkte einen Funktionswert von \(-1\) haben.

2. Setze deinen Funktionsterm mit \(-1\) gleich!

$$1 + 2sin(2t + \pi) = -1$$

3. Stelle nach \(t\) um!

$$2sin(2t + \pi) = -2$$

$$sin(2t + \pi) = -1$$

$$2t + \pi = arcsin(-1)$$

$$2t + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

$$2t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

$$t = \frac{\pi}{4} + k\pi$$

4. Damit sind deine Tiefpunkte: \(E_{t} = (\frac{\pi}{4} + k\pi | -1)\)!

Hier noch ein Bild zum Verständnis:

 Super danke für eure tolle Hilfe !!!