Eine nette Bastelaufgabe.Wir haben:

\( a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos \alpha\), also \(\cos \alpha = \frac{45}{60}\)

Dann ist \(\sin (2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac32\sin \alpha\).

Nach dem Sinus-Satz haben wir: \( \frac6{\sin \gamma} = \frac4{\sin\alpha}=\frac4{\frac23\sin(2\alpha)} = \frac6{\sin(2\alpha)}\).

Vergleichen wir ganz links mit ganz rechts, so folgt: \(\sin \gamma = \sin(2\alpha)\). Jetzt gibt es noch zwei Möglichkeiten:

1. \(\gamma = 2\alpha\), dann sind wir fertig.

oder 2. \(180-\gamma = 2\alpha\), woraus aber folgt \(\alpha+\beta=2\alpha\), also \(\alpha=\beta\). Das kann aber nicht sein, weil \(\cos \alpha = \frac34\) (siehe oben) und (aus dem Cosinus-Satz) \(\cos \beta = \frac{27}{48} =\frac9{16}\ne \frac34\).

Also bleibt nur die erste Möglichkeit, fertig.

Vielleicht kann man durch eine andere Rechnung die Doppeldeutigkeit des sinus am Ende umgehen?!

Zunächst vorab: ich habe es noch nicht durchgerechnet, aber : 

im Cosinussatz hast du drei Gleichungen und drei Unbekannte. Ich würde jeweils den Cos Alpha, Beta , Gamma berechnen und mit dann die Cosinuskurve mal genauer graphisch anschauen. Hilft das ?