Es geht anscheinend um eine Stammfunktion. Stammnfunktionen gibt es immer unendlich viele, diese unterscheiden sich alle nur um eine hinzu addierte Konstante, daher schreibt man ja "+c".
In den beiden Stammfunktionen (Deine und die vom Prof) muss das c nicht dasselbe sein. Schau den Termin der Klammer an: Dein Klammerausdruck ist genau doppelt so groß wie der vom Prof.
Also: Deine Stammfunktion $=-0.5\ln (2\cdot klammer) + c = -0.5(\ln 2+ \ln klammer) +c =
-0.5\ln klammer  -0.5\ln 2+c =$ Prof-Stammfunktion $+d$,
mit $d=-0.5\ln 2+c$.
Es sind also beide Lösungen richtig, denn beide unterscheiden sich nur um eine Konstante $d$.
Man kann es nicht oft genug sagen: Eine Aufgabe ist NICHT dann richtig gelöst, wenn man die Musterlösung getroffen hat, sondern wenn das Ergebnis richtig ist. In vielen Fällen, so auch hier, gibt es mehrere richtige Lösungen. Und dass Deine stimmt, kannst Du durch Ableiten selbst prüfen (auch das kann man nicht oft genug sagen: In vielen Fällen kann man die Lösung selbst prüfen (und damit meine ich NICHT "mit der Musterlösung vergleichen"), indem man die Probe macht).