Differentialgleichung 1. Ordnung - Ansatz nicht ergründlich

Erste Frage Aufrufe: 101     Aktiv: 28.06.2021 um 11:00

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Hallo Zusammen,

ich soll die allgemeine Lösung der DGL bestimmen. Jedoch fehlt mir der Ansatz.

$$y'+y-e^{-x}\cdot \frac{x+6}{x^2-4}=0$$

Wenn ich wie gewohnt ran gehe, und alles auf die rechte Seite bringe, dann weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll. Wo steckt mein Denkfehler?

$$\frac{dy}{dx}=-y+e^{-x}\cdot \frac{x+6}{x^2-4}\Rightarrow dy+y=e^{-x}\cdot \frac{x+6}{x^2-4}\cdot dx$$

Wie soll ich denn $dy+y$ integrieren?
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Diese Differentialgleichung ist nicht durch Trennung der Variablen lösbar, deshalb kann dein Ansatz nicht funktionieren. Nach Multiplikation mit $e^t$ ist sie aber exakt, sodass du wiefolgt vorgehen kannst: $$e^xy'+e^xy=\frac{x+6}{x^2-4}\Longleftrightarrow\frac{d}{dx}(e^xy)=\frac{x+6}{x^2-4}\Longrightarrow e^xy=\int\frac{x+6}{x^2-4}\,\mathrm dx$$ und das Integral kannst du einfach lösen, z.B. durch Partialbruchzerlegung.
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