Neutrales Element im Ring

Aufrufe: 815     Aktiv: 04.02.2021 um 09:51
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Hallo, 

ich habe eben folgende Aufgabe bewiesen: 


Es geht um das neutrale Element bezüglich der Multiplikation und Addition. Normalerweise ist es ja bei der Addition die Null und in der Multiplikation die 1. 
Hier hat aber die 1 bei der Multiplikation nicht klappt, die 0 aber schon. Das Gute ist, bei der Addition klappt es sowohl mit der 0 als auch mit der 1. Deshalb könnte man ja sagen, dass die 1 in diesem Fall das neutrale Element bzgl. der Addition ist und die 0 das neutrale Element bzgl der Multiplikation. 
Meine Frage: Ist das neutrale Element nicht eindeutig? Mich verwirrt, dass sowohl die 1 als auch die 0 das neutrale Element bzgl. der Addition ist. 

Danke!!!
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2 Antworten
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Die \(0\) ist nicht neutrales Element der neuen Addition. Es gilt ja \(a\oplus 0=a-1\neq a\).
Das neutrale Element ist immer eindeutig definiert: Angenommen, es gibt zwei neutrale Elemente \(e,e'\). Dann gilt \(e=e\oplus e'=e'\).
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Dass zwei Ringe die gleiche Grundmenge haben und beide kommutativ sind, reicht nicht als Bedingung für Isomorphie. Du musst einen Isomorphismus zwischen den beiden Ringen angeben und nachrechnen, dass er auch wirklich ein Isomorphismus ist.   ─   stal 03.02.2021 um 15:52
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Ja, \(\varphi\) zu finden ist das schwierigste an der Aufgabe. Bijektivität und die Homomorphieeigenschaften nachzurechnen ist dann einfach. \(\varphi(e)=e'\) musst du übrigens nicht zeigen, das folgt sofort aus den anderen Eigenschaften. Ich würde eher \(\varphi:(R,+,\cdot)\to(R,\oplus,\odot)\) nehmen, dann wissen wir schonmal \(\varphi(0)=1\) und \(\varphi(1)=0\), weil eben die neutralen Elemente aufeinander abgebildet werden. Fällt dir eine möglichst einfache Abbildungsvorschrift ein, sodass das gilt?   ─   stal 03.02.2021 um 16:12
Das ist doch gut, wir nehmen das mal. Jetzt rechne nach, dass \(\varphi\) bijektiv und ein Homomorphismus ist.   ─   stal 03.02.2021 um 17:09
Wir haben \(\varphi\) andersherum definiert, von \((R,+,\cdot)\) nach \((R,\oplus,\odot)\). Außerdem gilt in deinen Rechnungen nicht \(\varphi(a\oplus b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)\). Ich mache mal die Rechnung für die Addition vor:

Zu zeigen ist: \(\varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b).\) Wir rechnen $$\varphi(a+b)=1-(a+b)=1-a-b=(1-a)+(1-b)-1=\varphi(a)\oplus\varphi(b).$$
Die Multiplikation geht ähnlich. Vergiss auch nicht zu zeigen, dass \(\varphi\) bijektiv ist.   ─   stal 03.02.2021 um 17:52
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Ja, das passt so.   ─   stal 04.02.2021 um 09:17

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Rechne nochmal genau nach, bei der Addition klappt es mit der Null nicht.
Ja, die neutralen Elemente sind hier einfach vertauscht gegenüber der normalen Multiplikation. Ist aber kein Problem.
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