Eine Fläche zu berechnen

Erste Frage Aufrufe: 84     Aktiv: 26.07.2021 um 13:44

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Hi ,

Um eine Fläche zu berechnen, müssen wir manchmal die Integration durchführen
Das ist einfach, aber am schwierigsten ist die Wahl zwischen den beiden Gleichungen f(x) und g(x)
wann wähle ich f(x)-g(x) oder g(x)-f(x) aus ?
 
Kann mir jemand die genaue und richtige Antwort geben?

Lg
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Moin, 
der Betrag der Fläche ist bei beiden gleich, wenn du aber ein positives Ergebnis haben willst, muss für \(\int_a^bf(x)-g(x)dx\) in [a,b] gelten, dass \(f(x) >g(x)\)
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Schüler, Punkte: 935

 

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Der Abstand von der \(x\)-Achse ist bei \(f(x)-g(x)\) genau des Selbe, wie bei \(g(x)-f(x)\). Das einzige, was sich ändert, ist, dass die Fläche in einem Fall unter der \(x\)-Achse und im anderen Fall über der \(x\)-Achse entsteht.

Den Flächeninhalt berechnet man in beiden Fällen mittels \( \int^b_a | f(x)-g(x) | dx = \int^b_a | g(x)-f(x) | dx \).
  1. Wenn \(f(x) \geq g(x)\), dann kann man beim ersten Integral die Betragsstriche weglassen.
  2. Wenn \(g(x) \geq f(x)\), dann kann man beim zweiten Integral die Betragsstriche weglassen.
  3. Wenn es Werte \(x_1,x_2\in (a,b) \) gibt, so dass \(f(x_1) > g(x_1)\) und \(g(x_2) > f(x_2)\) - also keine Funktion ist immer größer oder gleich der anderen - dann kannst du die Betragsstriche nicht weglassen.
Du wählst also immer das, was gerade passt.
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Wenn man $h(x)\,\colon=g(x)-f(x)$ definiert und als Integrationsgrenzen die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte wählt, so kann man auch einfach $$\left|\int\limits_a^b\!h(x)\,\mathrm{d}x\right|$$ berechnen.   ─   cauchy 26.07.2021 um 13:44

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