Betrag, Erklärung der Lösung

Aufrufe: 28     Aktiv: 25.05.2021 um 14:53

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Hallo,
ich muss folgende Aussage ohne Beträge ausdrücken: 3|x-1|+|x|

In der Lösung seien die Punkte x=0 und x=1 wichtig. Man hat dann drei Fälle unterschieden:

1. Fall x<0
Dann gilt |x-1|=-(x-1)=1-x und |x|=-x, somit ist in diesem Fall 3|x-1|+|x|=3(1-x)-x=3-4x.

2. Fall 0<=x<1
Dann gilt |x-1|=-(x-1)=1-x und |x|=x, somit ist in diesem Fall 3|x-1|+|x|=3(1-x)+x=3-2x.

3. Fall x>=1
Dann gilt |x-1|=x-1 und |x|, somit ist in diesem Fall 3|x-1|+|x|=3(x-1)+x=4x-3.

Kann mir jemand bitte erklären, wieso man x=0 und x=1 nimmt und mir erklären, wieso man beim ersten und zweiten Fall ein Minus vor der Klammer hat und wieso man beim ersten Fall "-x" hat?
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1 Antwort
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Hallo,

der Betrag ist folgendermaßen definiert:

$$ |x| = \left\{ \begin{matrix} x,  & \text{für} \ x \geq 0 \\ -x , & \text{für} \ x < 0 \end{matrix} \right. $$

Das macht auch Sinn, denn wir erhalten beim Betrag ja nur den Wert der Zahl ohne Vorzeichen (oder eher mit positiven Vorzeichen). Wenn wir eine nichtnegative Zahl haben, nehmen wir einfach die Zahl. Wenn wir eine negative Zahl haben multiplizieren wir diese mit einem Minus, damit sich das Vorzeichen dreht.

Mit dieser Überlegung lassen sich dann auch solche Beträge betrachten. Wir überprüfen, wann der Inhalt eines solchen Betrags negativ und wann er nichtnegativ ist. Für \( x <0 \) sind beide Inhalt negativ. Deshalb müssen wir vor beide Inhalte ein Minus packen, wenn wir die Betragsstriche weglassen.
Bei \( 0 \leq x < 1\) ist nur \( |x-1| \) negativ, aber nicht \( |x| \). Also brauchst du hier nur ein Minus. 
Wenn dann \( x \geq 1 \) ist, dann ist keine der Inhalte mehr negativ und du kannst die Betragsstriche einfach weglassen.

Um herauszufinden, wann so ein Inhalt negativ wird, kann man die Nullstellen von den Inhalten des Betrags bestimmen. So kommt man dann auf \( x=0 \) und \( x=1 \).

Grüße Christian
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Dankeschön!   ─   anonym 25.05.2021 um 14:52

Sehr gerne ;)   ─   christian_strack 25.05.2021 um 14:53

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