Es gibt hier keine homogenen Lösungen, sondern nur Lösungen des homogenen Systems. Achte auf die Begriffe.
Die reelle Form enthält auch $\cos$ und $\sin$, es ist also in beiden Fällen alles da, was da sein muss.
Beachte: Es gibt unendlich viele Lösungen der hom. Dgl., und nur die Lösungsmenge muss in beiden Fällen (reelle und komplexe Rechnung) gleich sein (was sie auch ist).
Wie man auf die Darstellung in der reellen Form kommt, steht ziemlich sicher in Deinen Vorlesungsunterlagen.