Man kann leider nicht alle ganzzahligen Zahlentripel (a,b,c) daraufhin prüfen, ob diese die Gleichung erfüllen, denn es gibt ja unendlich viele davon.
Drum ist es wichtig, dass man die Menge an möglichen Zahlentripel einschränkt.
Da gibt es leider kein Patentrezept.

Hier zum Beispiel kommt zu Hilfe, dass Volumina - hier abc - viel schneller wachsen als Längen. Man kann also hoffen, dass für fast alle Tripel (a,b,c) das Volumen größer ist als die Summe der Kantenlängen.

Also starte ich mit \(abc = 4a+4b+4c\).
Da \(a\le b \le c\), folgt: \(abc \le 4c+4c+4c = 12c\).
Daraus folgt: \(ab\le 12\).
Die Menge an ganzzahligen Zahlenpaaren, die \(ab\le 12\) und überdies \(0< a \le b\) erfüllen, ist nun endlich - und überschaubar.

Ein zweiter Trick ist nun, die Gleichung "\(4(a+b+c) = abc\) nach c aufzulösen. Dann hast Du eine Gleichung der Form

     c  =  Irgendein Term mit a und b.

Aus dieser Formel kannst Du ggf. weitere Einschränkungen an \(a\cdot b\) ablesen.

Also musst Du dann nur noch alle dann noch möglichen Zahlenpaare (a,b) durchlaufen, und das dann in die Formel für c einsetzen.
Sollte c nicht definiert sein (Division durch 0), oder ein Bruch sein, oder kleiner als b sein  => verwerfen.
Ansonsten: (a,b,c) ist eine Lösung.