Beweis: Ebenen im Raum genau dann parallel, wenn Normalenvektoren kollinear sind.

Aufrufe: 395     Aktiv: 22.11.2022 um 17:20
0
Liebes Forum,

könnt ihr mir helfen, die Aussage in der Fragestellung zu beweisen?

Mir fehlt die Idee eines Ansatzes...
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 146

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Kollinear heißt, dass Vektoren ein Vielfaches voneinander sind.
Ein Normalenvektor einer Ebene steht IMMER ORTHOGONAL zur Ebene.
Verbinde die beiden Eigenschaften, dann solltest du es hinbekommen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 48

 
Also:
Worauf ich einfach komme ist die Tatsache, dass wenn ein Vektor v auf der Ebene E senkrecht steht, dann auch r*v (also der kollineare Vektor)…

Was mir fehlt, ist jetzt der Schluss daraus …   ─   handfeger0 21.11.2022 um 19:57
Zeige, dass die Ebenen dann entweder keine gemeinsamen Punkte haben oder identisch sind.   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:00
Also: Weshalb folgt aus
„Die Normalenvektoren sind Vielfache“, dass die Ebenen parallel sind ?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:00
Ja das ist richtig. Aber betrachte einen normalenvektor v1 für die Ebene 1 und einen normalenvektor v2 für die Ebene 2. Die stehen beide in Verbindung zueinander indem sie kollinear sind. Also: v1= r * v2
Da nach Vorraussetzung diese Eigenschaft erfüllt ist, folgt daraus, dass, da wir 2 Ebenen betrachten, die Ebenen entweder exakt identisch sind oder parallel.   ─   ramy69 21.11.2022 um 20:02
Wenn die beiden Vielfache voneinander sind heißt das, dass die Normalenvektoren genau die selben sind nur, dass die beiden Unterschiedlich lang sind. Aber sie sind immer noch derselbe. Das heißt im Ende nur, dass die Ebenen unterschiedlich im RAum liegen, je nach Punkten die drauf sind. Haben die beiden Ebenen die selben PUnkte sind diese nicht parallel, aber Identisch. Haben sie keinen gemeinsamen Punkt sind diese Parallel, da de Normalenvektor kollinear ist
   ─   ramy69 21.11.2022 um 20:05
Aber wieso?!

Wie kann ich beweisen, dass:

Die Vektoren sind kollinear —> Die Ebenen sind parallel   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:06
Hast du meinen Kommentar gelesen?   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:09
Oh. Hatte ich übersehen:

Wahrscheinlich kommt heraus, wenn ich die Koordinantenformen addiere, dass einmal eine wahre Aussage heraus kommt und einmal eine falsche?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:13
Rechne es nach!   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:14
Okay passt.

Diese Richtung ist jetzt klar, danke.

Doch wie funktioniert die Rückrichtung?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:18
Du nimmst an, dass die beiden Ebenen identisch oder parallel sind. Für den Fall identisch ist nichts zu zeigen, warum nicht? Im Fall echt parallel musst du aus der Tatsache, dass die Ebenen keine Schnittpunkte haben (was heißt das?) schließen, dass die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:39
Kein Schnittpunkt bedeutet doch: es gibt keine Lösung des LGS / es gibt eine Widerspruchszeile?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:43
So ist es.   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:46
Ok. Und wie komme ich zu den kollinearen Vektoren?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 20:49
Schreib doch den Ansatz erstmal auf. Und dann überlege dir, wann dein LGS keine Lösung hat. Bzw. was dafür erfüllt sein muss.   ─   cauchy 21.11.2022 um 20:57
Na ich will eigentlich aus
a=d (mit a ungleich d)
So etwas heraus bekommen wie:

I n1x+n2y+n3z=a
II kn1x+kn2y+kn3z=kd

Mit a ungleich d?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 21:03
Nein. Falscher Ansatz. Du nutzt bereits aus, dass deine Normalenvektoren kollinear sind. Das willst du aber gerade zeigen. Seien $\vec{n}$ und $\vec{m}$ zwei Normalenvektoren paralleler Ebenen. Das heißt es gilt $n_1x+n_2y+n_3z=a$ und $m_1x+m_2y+m_3z=b$.   ─   cauchy 21.11.2022 um 21:16
Müsste man nicht noch Zusätze formulieren, damit das LGS auch wirklich keine Lösung hat?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 21:26
Oder erstmal allgemein mit Additionsverfahren vereinfachen?   ─   handfeger0 21.11.2022 um 22:00
Probier etwas aus. Wegen der Parallelität der Ebenen weißt du, dass es keine Lösung gibt. Daraus musst du jetzt - irgendwie - schlussfolgern, dass dann $m_i=tn_i$ für alle $i$ und ein $t\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ gilt und die Normalenvektoren damit kollinear sind.

Man darf sich ruhig ein wenig mit solchen Beweisen befassen. Es gibt hier nicht DIE Lösung. Du weißt, was du voraussetzt und du weißt, wo du hin willst.   ─   cauchy 21.11.2022 um 22:05
Folgende Idee:
Ich multipliziere Gleichung 1 mit t und rechne dann: 1-2:

1-2: x(tn1-m1)+y(tn2-m2)+z(tn3-m3)=ta-b

Jetzt benutze ich die Tatsache, dass es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen geben soll, demnach auf jeden Fall auf der linken Seite des Gleichheitszeichens eine Nullzeile entstehen soll.

Daraus folgt aber für die Kooeffizienten von x,y und z:

tn1-m1=0 woraus folgt: m1=tn1

Gleiches gilt für die Koeffizienten von y und z

Wenn jetzt (ka-b) auch 0 ist gibt es unendlich viele Lösungen für ungleich 0 sind die Ebenen echt parallel…   ─   handfeger0 22.11.2022 um 09:16
Warum folgt $tn_i-m_i=0$ für alle $i$? Was ist, wenn $x=y=z=0$?   ─   cauchy 22.11.2022 um 09:37
Wenn es keine Lösung gibt, kann nicht gelten x=y=z=0 oder?   ─   handfeger0 22.11.2022 um 14:53
Doch klar. Rechts könnte ja z.B. 5 stehen. Dann hätte man $0=5$ und auch keine Lösung.   ─   cauchy 22.11.2022 um 17:20

Kommentar schreiben