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1. Die Kosinusfunktion hat an der Stelle 0 den Wert 1 und ist stetig. Deshalb gilt \(\lim_{x\to0}\cos(x)=0\). Ersetze `x` durch \(\frac \pi n\), so folgt, dass der cos-Term gegen 1 geht.
2. Für die Sinusfunktion gilt \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\). Das hat kann man zum Beispiel mit der Regel von de l'Hopital beweisen. Setze \(x = \frac \pi n\), so folgt \(\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac\pi n) = \lim_{n \to \infty} \pi \frac n \pi \sin(\frac\pi n) = \pi \cdot 1 = \pi\).
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digamma
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Das hat zwar wenig mit dem zu tun, was digamma geschrieben hat, ist aber ebenfalls korrekt.
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sterecht
04.04.2020 um 22:18
Du machst das komplizierter als ich. Den Grenzwert für `cos (pi/n)` kann man ohne L'Hopital bestimmen, Den L'Hopital benutze ich nur für `sin(pi/n)/(pi/n)`. Und es ist einfacher, zunächst `sin(x)/x` zu betrachten und dabei nach `x` ableiten. Erst im nächsten Schritt setzt man `pi/n` für `x` ein und beachtet, das `x` gegen 0 geht, wenn `n` gegen unendlich geht.
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digamma
08.04.2020 um 19:31
Was ich, inspoiriert von deiner Antwort, gesagt hätte:
n*sin(Pi/n)*cos(Pi/n)
=sin(Pi/n)*cos(Pi/n) /(1/n)
für n gegen unendlich geht Pi/n gegen 0 sowie 1/n gegen 0.
sodass da 1*0/0=0/0 rauskäme.
darum darf man da L'Hopital benutzen.
Ableitung von sin(Pi/n)*cos(Pi/n) nach n:
cos(Pi/n)*(-Pi/n^2)*cos(Pi/n)+sin(Pi/n)*(-sin(Pi/n))*(-Pi/n^2)
=(-cos^2(pi/n)+sin^2(Pi/n))* Pi/n^2
Die Ableitung von 1/n ist -1/n^2
damit it dann der Quotient
[(-cos^2(pi/n)+sin^2(Pi/n)) Pi/n^2 ] / (-1/n^2)
=(cos^2(Pi/n)-sin^2(Pi/n))*Pi
für n gegen unendlich geht nun cosinus immer noch gegen 1 und sin gegen 0 sodass rauskommt
(1^2-0^2)*Pi
=1*pi=Pi
Stimmt das so? ─ densch 04.04.2020 um 14:35