Du kannst nur relle Funktionen skizzieren. (Eine Achse ist das Argument, die andere der Funktionswert) Und ja, \(x^2+1\) als Funktion eines reellen Arguments schneidet nie die \(x\)-Achse. Aber im Komplexen bräuchtest du zwei Achsen für dein Argument (Real- und Imaginärteil) und zwei für den Funktionswert, also insgesamt vier Dimensionen, was wir nicht visualisieren können. Deshalb ist es schwer, komplexe Funktionen graphisch darzustellen. (Es gibt Methoden, eine Dimension durch Zeit oder Farbe darzustellen.) Aber der Graph der komplexen Funktion \(x^2+1\) würde die \(x\)-Ebene schneiden, in den Punkten \(\pm i\).

Hi! 

Ich denke du redest vom "normalen" Kartesischenkoordinatensystem, wo diese verschobene Normalparabel die x-Achse nicht schneidet... dann hast du das sehr richtig beobachtet. 

In diesem Koordinatensystem sind auf den beiden Achsen jedoch nur reelle Zahlen. da -wie du sicher weißt- die komplexen Zahlen nicht auf der Zahlengerade sonder in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) liegen, "findest" du \(i\) nicht auf der x-Achse im kartesischen Koordinatenensystem, wo du Funkionen von R-> R darstellen kannst. 

Beantwortet das deine Frage hinreichend?

Ja, im Reellen gibt es keine Nullstelle.
Was hier noch nicht erwähnt wurde: i ist PER DEFINITION eine (der beiden) Nullstellen des Polynoms. Man möchte mit der Nullstelle arbeiten, in R gibt es sie nicht, also muss man sie NEU DEFINIEREN und nennt sie i. i steht für imaginäre Einheit, imaginär, weil es "nur in der Vorstellung" existiert, nicht im reellen.
Damit aber die aus dem reellen bekannten Rechenregeln gelten, ist dann -i die andere Nullstelle.
Kurz: Man kann i nicht berechnen, i HEISST die eine Nullstelle. Das ist die Begründung.
i ist also etwas neues, nichts berechnetes, und i ist auch nicht Wurzel aus -1 (wird leider oft so geschrieben).