Konvergenzbereich von Potenzreihen

Aufrufe: 478     Aktiv: 16.09.2020 um 08:33
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Ich habe die folgende Potenzreihe

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{\sqrt{n^2+1}}*x^n\)

Über die Formel des Konvergenzradius \(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}\) rechne ich den Konvergenzradius aus.

\(r= \frac{1}{2}\)

Wie ermittele ich dadurch jetzt den Konvergenzbereich, um im Anschluss die gesuchte Antwort in der Form \(-r < x < r\) korrekt zu errechnen?

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Normalerweise steht bei dem x^n ein (x-x_0)^n. Da aber nur x^n steht, folgt das x_0 = 0.
Konervergenzintervall ist dann wie folgt definiert:
(x_0 - r, x_0 + r) => (0 - 1/2, 0 + 1/2) => (-1/2, 1/2) ist dein Intervall! Wichtig sind die runden Klammern, da es kein abgeschlossenes Intervall ist.
Die Randpunkt -1/2 und 1/2 sind natürlich auch noch zu überprüfen, also eine die beiden Randpunkte für x einsetzten und die Konvergenz der normalen Reihe untersuchen.

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
Ah cool, danke! Der letzte Satz war entscheidend und hat mir gefehlt. Danke   ─   niels 15.09.2020 um 16:04
Gerne. Könntest du die Antwort noch akzeptieren, damit jeder weiß das die Frage geklärt ist? ;)   ─   kallemann 15.09.2020 um 16:48
Selbstverständlich. Sorry!   ─   niels 16.09.2020 um 08:33

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