]Folgen] Differenz in 3. binom. Formel umwandeln

Erste Frage Aufrufe: 598     Aktiv: 09.01.2021 um 14:45
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Hallo zusammen!

Ich sitze eigentlich vor einer sehr einfachen Aufgabe, komme allerdings nicht weiter. Ich beschäftige mich gerade mit Folgen und möchte auf Konvergenz prüfen bzw. den Grenzwert bestimmen.

Die Folge lautet folgendermaßen:

\( a_{n} = \sqrt{n+5}  - \sqrt{n+3}   \) 

Der Trick ist nun die 3. binom. Formel darauf anzuwenden, damit man auf folgenden Schritt kommt:

\( a_{n} = \frac {n+5-(n+3)} {\sqrt{n+5}  + \sqrt{n+3} }   \) 

Kann mir dafür bitte jemand ausführlich aufschreiben / erklären, was in diesem Schritt von statten geht? Der Rest ergibt sich für mich von selbst, geht also nur um den kleinen Schritt dazwischen.

Vielen Dank und ein schönes Wochenende euch allen!

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Zähler und Nenner wurden erweitert mit
\(\sqrt{n+5} + \sqrt{n+3}\). Zähler ausmultipliziert. ergibt 2; Nenner bleibt stehen.

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Vielen Dank für die rasche Antwort!
Warum steht denn ein "+" zwischen den beiden Wurzeln? Kommt das aus der 3. binom. Formel?

Bei mir kommt im Zähler allerdings 0 heraus, kann mir aber nicht erklären warum. Im Zähler steht folgendes:
sqrt(n+5) * sqrt(n+3) - sqrt(n+3) * sqrt(n+5)
Habe ich im Zähler etwa falsch erweitert? Ich habe einfach mit dem fehlenden "Gegenteil" multipliziert.

Nochmals Danke für die Hilfe!   ─   php 09.01.2021 um 12:13
ausmultipliziert (gemischter Term fällt weg; das ist ja Sinn der Sache): \((\sqrt{n+5})^2 -(\sqrt{n+3})^2 =n+5-n-3 = 2\)   ─   scotchwhisky 09.01.2021 um 12:20
Sorry für die erneute Nachfrage, aber ich komm' nicht auf sqrt(n+5)² - sqrt(n+3)².

Ich erweitere sqrt(n+5) mit sqrt(n+3)? Oder erweitere ich mit sqrt(n+5)? Aber warum denn das?   ─   php 09.01.2021 um 12:30
Binomi 3 anwenden. (a+b)*(a-b)=a^2-b^2. Setz für a: \(\sqrt{n+5}\) und für b : \(\sqrt{n+3}\)   ─   scotchwhisky 09.01.2021 um 13:17
Alles klar! Vielen Dank!   ─   php 09.01.2021 um 14:45

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