Hallo,

wir haben die Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 & 1 \\  -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

gegeben. Die Gestalt jeder Abbildungsmatrix ist abhängig von der Basis in die abgebildet wird. 
Da wir jeden Vektor als Linearkombination der Basisivektoren darstellen können, überprüfen wir worauf die Matrix unsere Basisvektoren abbildest. 

Deshalb berechnen wir 

$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 & 1 \\  -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

usw. 

Die Vektoren die wir als Ergebnisse erhalten, stellen wir dann als Linearkombinationen der neuen Basis dar. Die Koeffizienten der Linearkombination ergeben dann die neuen Koeffizienten der neuen Matrix

Grüße Christian