In einem Lehrbuch steht der Beweis für die Divergenz der Folge \( a_n = (-1)^n \) mit \(n \in \mathbb{N}\) durch einen Widerspruch. 

In dem wird angenommen das die Folge \( (a_n) \) gegen eine relle Zahl a konvergiert.

Wenn das stimmt, dann gibt es nach Definition zu \( \epsilon := 1\) ein \(N \in \mathbb{N}\) mit 

\( |a_n - a| < 1\)    \( \forall n \leq N\)

Für alle \( n \geq N\) gilt dann nach der Dreiecksungleichung

\(2= |a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)| \leq |a_{n+1}-a|+|a_n-a|<1+1=2\)

Ich verstehe dass das ein Wiederspruch ist und auch die Zwischenschritte wie man zu 2<2 kommt. Aber nicht warum wenn der Abstand 2 ist direkt bewiesen ist, dass diese Folge nicht konvergiert bzw. dass sie divergiert. 

Denn wenn ich ein \( \epsilon := 2 \) wähle und den Abastand zweier aufeinander folgender Glieder der Folge, \(|a_{n+1}-a_n| = 3 \), nehme, komme ich zu einer Gleichung die keinen Widerspruch produziert.

 \(3= |a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)| \leq |a_{n+1}-a|+|a_n-a|<2+2=4\)

\( \Rightarrow 3<4\) was ja stimmt. Erst wenn ich die Vier oder eine höhere Zahl wähle widerspticht sich die Gleichung wieder. 

Vielen Dank und liebe Grüße

Berkalp