Umformungen

Aufrufe: 78     Aktiv: 18.09.2023 um 15:18

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Ich verstehe nicht so ganz, wie diese Umformungen zustande kommen, also wie kommen speziell die zusätzlichen Summanden im Exponenten, wie die "-1" und "+1" zustande?


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Das sind ganz normale Potenzgesetze. Wenn dir die Schritte unklar sind, schreib sie noch kleinschrittiger auf. $2^{(n+1)-1}$ ist halt einfach $2^n$. Und wenn man die Klammer auflöst kommt man beim zweiten Summanden auf $\frac{2}{2^n}=\frac{2}{2\cdot 2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}$.

Im übrigen ist es schwierig für uns ersichtlich wo man hin will mit der Umformung wenn man aus dem Zusammenhang gerissen irgendwelche Gleichungen und Umformungen postet. Falls du, wie anscheinend gerade öfters, dies mit einer Induktionsaufgabe zusammenhängt, poste diese doch gerne auch mit. Macht uns die Arbeit leichter zu verstehen wo man hin will.

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Ok das es 2/2^n ist, das ist völlig klar.
Ich verstehe nur nicht woher auf einmal die "2 *" im Nenner herkommt, und wie das dann im letzten Bruch wieder weg ist. Bei letzteres denke ich dann ans kürzen?
Und woher man die "-1" im Exponenten nimmt.

Zukünftig werde ich die gesamte Aufgabe posten

  ─   usjake 17.09.2023 um 17:04

$2^n$ bedeutet ja nichts weiter als $\underset{n-\text{mal}}{\underbrace{2\cdot2\cdot \ldots \cdot 2}}$! Also wenn ich von der Potenz eine zwei wegnehme dann muss ich im Exponenten $-1$ rechnen, also ist $2^n=2\cdot 2^{n-1}$. Und ja danach wird gekürzt.   ─   maqu 17.09.2023 um 17:13

Okay, also muss ich das wie ein workaround verstehen?
Also man fügt die "2" hinzu, weil es ja "2^1" ist und weil man nicht einfach eine neue "2" hinzufügen darf macht man dann im Exponenten der anderen Zahl "-1", weil man dann durch "2^{1 - 1}" wieder auf "2^0 = 1" kommt? Habe ich das bis hier hin, richtig verstanden?

Dann kommt genau der punkt den ich vermutlich nicht ganz so verstehe. Man kürzt am Ende ja dann die 2 aus dem Zähler mit der 2 aus dem Nenner, warum bleibt dann dennoch die "-1" bestehen?
Weil es wäre ja eben dann ein komplett neuer Bruchterm oder sehe ich das verkehrt?

Worauf ich hinaus möchte, ich verstehe nicht ganz wie man sehen kann das
2/2^n= 1/n^{n - 1} ist.
  ─   usjake 18.09.2023 um 13:56

Ach so, ich glaub ich denke einfach viel zu kompliziert.
Hier mein Weg, ich denke der sollte passen:

Ausgehend von 2/2^n.
Schreibt man es mit Potenzen hat man 2^1/2^n.
Wendet man jetzt das Potenzgesetz an erhält man 2^{1 - n}.
Wende ich nochmal erneut das Potenzgesetz an vertauschen sich die Vorzeichen und ich erhalte: 1/2^{n - 1}.
  ─   usjake 18.09.2023 um 14:07

Man erhält zwar einen Bruch der von der Darstellung her anders aussieht, die Zahl an sich bleibt aber die gleiche. Man kürzt lediglich eine 2. Wenn im Zähler eine 2 steht und im Nenner $n$-mal die 2, bleiben nach dem Kürzen im Nenner noch $(n-1)$ 2en übrig. Deine zweite Überlegung funktioniert tatsächlich auch, ist nur etwas komplizierter als die 2 einfach zu kürzen.   ─   maqu 18.09.2023 um 15:18

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