Argument von Komplexen Zahlen (Moivre)

Aufrufe: 58     Aktiv: 02.02.2021 um 17:48

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Ich soll zeigen dass gilt: 

arg(z^n) = n arg(z)

ich wollte das mal für 2 prüfen.

arg(z^2) = 2arg(z) 

ich setze: z = a + bi 

Dann folgt: 

arg((a+bi)^2) = 2 arg((a+bi))  

nun komme ich für arg(z^2) auf 

arctan(2ab/a^2-b^2)) dies ist ja dann nicht 2arg(z) 

gilt dies nun nicht allgemein oder was mache ich falsch? 
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1 Antwort
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Erstmal ist im Allgemeinen \(\arg(x+yi)\neq\arctan(\frac yx)\), das gilt nur für \(x>0\).
Zweitens ist die Aussage falsch: Wähle \(n=4\) und \(z=i\), dann ist $$\arg(z^n)=\arg(i^4)=\arg(1)=0\neq2\pi=4\cdot\frac\pi2=4\cdot\arg(i)=n\cdot\arg(z).$$ Die Aussage ist nur modulo \(2\pi\) korrekt, oder in der Form \((e^{i\varphi})^n=e^{i\varphi n}\).
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Das bedeutet wenn ich das zeigen möchte muss ich den weg über die exponentialform wählen?
Es ist mir noch nicht ganz klar, denn
arg(1/z)=-arg(z) konnte ich mit dem ansatz z=a+bi zeigen.
Könnte ich evtl auch eine einschränkung machen z.b a!=0 ?
  ─   sebii2 02.02.2021 um 17:48

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