Du hast bis ganz zum Ende alles richtig gerechnet. Wenn du die zweite bis vierte Koordinate bestimmt hast, muss für die erste Koordinate \(x_1\) noch gelten $$x_1+3\cdot 1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=0\Longrightarrow x_1=-1$$ und damit bist du bei dem korrekten Eigenvektor.
Tauschen von Zeilen ist kein Problem, denn damit änderst du ja nur die Reihenfolge der Gleichungen, die erfüllt sein müssen. Das ändert den Lösungsraum nicht. Beim Tauschen von Spalten müsste man vorsichtiger sein; das ändert die Reihenfolge der Variablen. Das kann man auch machen, muss dann aber nach Aufstellen des Lösungsvektors alle Spaltenvertauschungen im Lösungsvektor wieder (in umgekehrter Reihenfolge) rückgängig machen.