Kurvenintegral Kurvenstück wie berechne ich das ?

Erste Frage Aufrufe: 378     Aktiv: 25.04.2023 um 14:26

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Moin,
ich sitze jetzt schon einige Zeit an dieser Aufgabe hier und weiß nicht wie man sie löst bzw. angeht....
Aufgabe a,b und d sind für mich kein Problem aber ich Verstehe irgendwie nicht so richtig was man von mir bei Aufgabe c will. Die Lösung ist auf den Zweiten bild zu sehen kann mir einer Erklären wie das geht oder was dort geschied? Ich weiß auch nicht so recht mit den beiden Variablen in der Potenz von e umzugehen....
Vielen Dank schon einmal im Vorraus.

EDIT vom 24.04.2023 um 11:30:

die kurven y1,y2,y3 und fie Funktion f(x).

EDIT vom 24.04.2023 um 13:10:

Jetzt mit einer Proberechnung

EDIT vom 24.04.2023 um 16:19:

So jetzt noch einmal nur die Gammar Kurven mit intervall als funktion geschrieben.

EDIT vom 24.04.2023 um 17:11:

Korrekte schreibweise von y4

EDIT vom 24.04.2023 um 17:17:

dabei gilt dieses

EDIT vom 25.04.2023 um 12:14:

So hier sind die hoffentlich korrekten integrale y1 u. y2

EDIT vom 25.04.2023 um 12:39:

und y3
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Student, Punkte: 12

 
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Das sind Kurven in $R^2$, die kann man z.B. in der Form $\{(x,f(x)) | x\in [a,b]\}$ mit einem geeigneten Intervall $[a,b]$ und einer Funktion $f$ beschreiben. Dafür Skizze und Schulmathematik anwenden (und testen, ob's passt, bevor man weiterrechnet!). Dann in die Formel für das Kurvenintegral einsetzen.
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Okay ja was sie bestimmt meinen ist die Parametrisierung oder? Gängigerweise geschiet dieses doch nach t oder? Das Problem ist das ich nicht so recht weiß oder Verstanden habe wie das jetzt genau sussehen oder geschehen soll. :/ Ich habe schon ein paar mal probiert aber es scheint mir als würde ich einen kleinen Schritt oder ein wichtiges Detail übersehen. Wie bekomme ich {(x,f(x))|x∈[a,b]} diese Form hin?   ─   janikg. 20.04.2023 um 13:34

Ja, das ist die Parametrisierung. Probiere einfach irgendein Intervall (irgendeines!!) aus und irgendein $f$ (irgendein!!) und skizziere (Beispiel so, dass man leicht skizzieren kann). Dann wirst Du es sofort verstehen.   ─   mikn 20.04.2023 um 13:47

Also es tut mir leid.... Ich hab das jetzt Versucht aufzuzeichnen (auch andere funktionen) oder noch einmal nachzuvollziehen aber aus irgendeinen Grund raff ich nicht so recht was ich nun tuen soll... Das Intervall ist ja scheinbar y1 also 0 => 1 oder ? Muss ich jetzt die Notation von F-> verändern damit ich das verstehe oder x bzw y von F-> ableten oder die Variablen ersetzen oder umformen?
Ich steh wirklich auf den Schlauch...
  ─   janikg. 21.04.2023 um 15:29

Es geht mit jedem Intervall. Welche Intervalle mit welchen Funktionen hast du skizziert und mit $\gamma_1$ verglichen? Zu berechnen gibt es hier nichts ernsthaftes, aber verstehen muss man es.   ─   mikn 21.04.2023 um 15:49

Wir machen jetzt nur $\gamma_1$, sonst nichts. Du solltest Beispiele für versch. $\gamma$'s ausprobieren und zusammen mit $\gamma_1$ skizzieren. Ich wiederhole den Tipp von vor zwei Tagen: Welche Intervalle mit welchen Funktionen hast du skizziert und mit $\gamma_1$ verglichen? Ich sehe noch nicht, dass Du das gemacht hast.   ─   mikn 24.04.2023 um 11:38

So Ich habe da jetzt ein Bild Hochgeladen wo ich die Kurven y1-y3 hochgeladen habe. Zuden habe ich mir die einfache Funktion f(x) = x^3 eingezeichnet. Das wohl relevante Intervall ist Scheinbar von 0-1, da sonst keine der Gegebenden Kurven darüber hinausgeht (auch wenn x^2 von 0<=x<=1 anders gezeichnet wurde). Jetzt habe ich aber trotzdessen leider nicht verstanden wie das mit der parametrisierung von F-> umgehen soll.... meine letzte Vermutung war, das wenn ich F->(x,f(x)) schreibe, ich nach den y wert im Vektorraum auflösen muss. Also so das ich im y parameter nur x als Variable drin habe.   ─   janikg. 24.04.2023 um 11:40

Du kommst der Sache langsam näher. Lies meinen vorigen Kommentar. Skizziere nur $\gamma_1$ und ein selbstgewähltes Beispiel. Ein Beispiel besteht aus einer Funktion $\gamma$ und einem Intervall. Schreib beides ordentlich auf. Und nochmal: Zu berechnen gibt es nichts (aber Schulmathematik zu wiederholen: Graph einer Funktion, was ist das?).   ─   mikn 24.04.2023 um 11:56

Ist das so richtig?   ─   janikg. 24.04.2023 um 13:13

Du brauchst (jetzt) kein Integral auszurechnen. Es geht nur um die Parametrisierung.
Zum 3. Mal: Funktion (bei Kurven heißen die $\gamma$) und Intervall und skizzieren.
Sicherlich stehen Beispiele auch in Deinen Vorlesungsunterlagen.
  ─   mikn 24.04.2023 um 13:16

Jetzt sind die die gammas alle als Funktion geschrieben und in Parametrisierter Form aufgeschrieben. Ich glaube es gibt nur noch einen kleinen notationsfehler. Es muss glaube ich f(t)=(t,t) sein und nicht f(x,y)=(t,t)   ─   janikg. 24.04.2023 um 16:22

Letzteres stimmt. Eine Kurve $\gamma$ ist eine Abbildung, die schreibt man (Schulkenntnis!) so: $\gamma: [a,b]\to R$ mit $\gamma(t)=...$. So steht es auch in Deinen Unterlagen, hast Du das nun nachgeschlagen?
Schreibe ein Beispiel in dieser Form, achte auf jedes(!) Zeichen, und skizziere. Im selben Bild die Skizze von $\gamma_1$.
Verwende kein(!) f, F, x,y.
  ─   mikn 24.04.2023 um 16:33

Ok, endlich. Skizze usw.   ─   mikn 24.04.2023 um 17:17

also so müsste die Schreibweise korrekt sein oder?
Die Bezeichnung müsste die Korrekte bezeichnung zu der schon erstellen Skizze y4 sein.
  ─   janikg. 24.04.2023 um 17:18

Achso, ok, Skizze stimmt. Nun vergleiche Dein $\gamma_4$ mit unserem gewünschten $\gamma_1$ und ändere Dein $\gamma_4$ so ab, dass es zu $\gamma_1$ passt. Danach darfst Du das erste Integral in c) ausrechnen, achte genau auf die Def. des Kurvenintegrals und auf jedes(!) Zeichen beim Einsetzen.   ─   mikn 24.04.2023 um 17:26

Ja ich hab jetzt alle Integrale ausgerechnet Ich glaube ich habe das Thema soweit Verstanden oder hab ich noch etwas falsch gemacht ?   ─   janikg. 25.04.2023 um 12:40

Man merkt, dass Du es nun verstanden hast. Allerdings stolperst Du über mangelnde Sorgfalt.
$\int_{\gamma_1}$: stimmt.
$\int_{\gamma_2}$: Kurve $\gamma_{22}$ stimmt nicht. Man spart sich eine Menge Arbeit, wenn man die Kurven VOR dem Integrieren nochmal genau prüft. Integrale stimmen beide nicht, weil falsch eingesetzt in $F$. Übrigens ein schönes Beispiel, dass man auch mit falscher Rechnung das richtige Endergebnis erzielen kann.
$\int_{\gamma_3}$: stimmt. Aber für das Durcheinander in der Rechnung (Nebenrechnung mit = in die Hauptrechnung eingestreut usw.) würdest Du bei mir Punktabzüge kriegen.
  ─   mikn 25.04.2023 um 13:00

Den Fehler in y2.2 hab ich selbstverstäntlich gefunden und auch in y2.1 korrigiert.
Für y3 tut es mir sehr leid ich übe noch. Ist die subsitution von t^3 gemeint?

Ansonsten bedanke ich mich recht herzlich für Ihre hilfe und Erklärungen meines Problemes. Ich glaube nun es weitestgehenst Verstanden zu haben
  ─   janikg. 25.04.2023 um 14:18

Ja, ich meinte die Nebenrechnung für die Substitution. Du hast ja allerdings bei $\gamma_2$ ohne formale Substitution die Stammfunktion gleich hinschreiben können, da solltest Du das bei $\gamma_3$ eigentlich auch können. Ist ja derselbe Trick.
Freut mich, dass Du es nun verstanden hast. Wenn alles geklärt ist, bitte als beantwortet abhaken (Anleitung siehe e-mail).
  ─   mikn 25.04.2023 um 14:26

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